Derive as funçōes conforme indicado:
f(x)=\frac{1}{\sqrt{3 x-4}}, \quad f^{\prime}(x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{3x-4}}
e pede que se calcule f'(x). Informações relevantes:
  • A função está definida somente quando o radicando é positivo, ou seja para 3x-4>0 (logo x>\tfrac{4}{3}); isso é importante para o domínio onde a derivada faz sentido.
  • Objetivo: encontrar a expressão analítica de f'(x).

Passo 2

Primeiro é conveniente reescrever f numa forma de potência, porque a regra da potência é direta. Reescrevendo:
f(x)=(3x-4)^{-1/2}.
Explicando a ideia: transformar uma raiz em potência torna fácil aplicar a regra da potência combinada com a regra da cadeia. A regra da potência (para uma função u(x) elevada a um expoente n) diz:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{n}\bigr)=n\,u(x)^{n-1}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a “parte interna” e n é o expoente. Vou usar exatamente isso.

Passo 3

Identificar a parte externa e a parte interna (para aplicar a regra da cadeia):
  • Parte interna: u(x)=3x-4.
  • Parte externa: a aplicação u\mapsto u^{-1/2}.
Calcule u'(x). Como u(x)=3x-4 é uma função linear, sua derivada é o coeficiente de x:
u'(x)=3.

Passo 4

Calcular a derivada da parte externa em função de u. Aplicando a regra da potência com n=-\tfrac{1}{2}:
\frac{d}{du}\bigl(u^{-1/2}\bigr)=-\tfrac{1}{2}\,u^{-3/2}.
Explicando: multiplica-se pelo expoente e diminui-se o expoente em 1.

Passo 5

Agora aplicar a regra da cadeia: derivada de f(x)=(u(x))^{-1/2} é
f'(x)=\frac{d}{du}\bigl(u^{-1/2}\bigr)\Big|_{u=3x-4}\cdot u'(x).
Substituindo os valores já calculados:
f'(x) = \left(-\tfrac{1}{2}(3x-4)^{-3/2}\right)\cdot 3.
Fazendo a simplificação das constantes:
f'(x) = -\tfrac{3}{2}\,(3x-4)^{-3/2}.
Uma forma equivalente, muitas vezes mais clara, é escrevê-la sem expoente negativo:
f'(x) = -\frac{3}{2\,(3x-4)^{3/2}}.

Passo 6

Comentário final e verificação rápida: a forma geral para funções do tipo \dfrac{1}{\sqrt{ax+b}} é
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt{ax+b}}\right)=-\frac{a}{2\,(ax+b)^{3/2}},
que coincide com o resultado acima ao tomar a=3 e b=-4. Lembre-se que tanto f quanto f' estão definidas para x>\tfrac{4}{3}.

Resposta

f'(x)=-\frac{3}{2\,(3x-4)^{3/2}}

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