Derive as funções dadas
f(x)=\cos \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr).
O conteúdo é a regra da cadeia, que nos diz como derivar uma composição de funções. Vamos precisar saber que, se g(u)=\cos(u), então
g'(u)=-\sin(u),
e depois multiplicar pela derivada da parte interna.

Passo 2

Identificamos a função externa e a interna:
a função externa é g(u)=\cos(u) com u=x^{2}+1,
e a função interna é h(x)=x^{2}+1.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Como g'(u)=-\sin(u), temos
g'\bigl(h(x)\bigr)=-\sin\bigl(h(x)\bigr)=-\sin\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 4

Agora derivamos a parte interna h(x)=x^{2}+1. Usando a regra da potência,
h'(x)=2x.

Passo 5

Multiplicando, obtemos
f'(x)=-\sin\bigl(x^{2}+1\bigr)\cdot 2x=-2x\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr).

Resposta

f'(x)=-2x\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr).

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