Derive as funções dadas
f(x)=\frac{1}{3}\left(2 x^{5}+6 x\right)^{6}

Passo 1

O enunciado pede para calcularmos a derivada de
f(x)=\frac{1}{3}\bigl(2x^{5}+6x\bigr)^{6}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma função composta do tipo g(u(x)), em que primeiro elevamos u(x) à sexta e depois multiplicamos por \tfrac13.

Passo 2

Definimos a parte interna da função composta como
u(x)=2x^{5}+6x.
Assim podemos reescrever
f(x)=\frac{1}{3}\,u(x)^{6}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de f é
f'(x) =\frac{1}{3}\cdot\frac{d}{du}\bigl(u^{6}\bigr)\cdot u'(x).
Sabemos que \tfrac{d}{du}(u^{6})=6u^{5}, logo
f'(x) =\frac{1}{3}\cdot6\,u(x)^{5}\cdot u'(x) =2\,u(x)^{5}\,u'(x).

Passo 4

Agora calculamos a derivada de u(x):
u'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(2x^{5}+6x\bigr) =10x^{4}+6.
Substituindo em f'(x) temos
f'(x)=2\,(2x^{5}+6x)^{5}\,(10x^{4}+6).

Passo 5

Fazendo uma simplificação final, observe que 10x^{4}+6=2(5x^{4}+3). Assim
f'(x) =2\,(2x^{5}+6x)^{5}\cdot2(5x^{4}+3) =4\,(5x^{4}+3)\,(2x^{5}+6x)^{5}.

Resposta

f'(x)=4\,(5x^{4}+3)\,(2x^{5}+6x)^{5}.

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