Derive as funções dadas
f(x)=x^{8}+(2 x+4)^{3}+\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = x^{8} + (2x+4)^{3} + \sqrt{x}.
Para isso vamos usar as regras:
  1. Regra do poder para x^{n}: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
  2. Regra da cadeia para compostos g(h(x)): \dfrac{d}{dx}g(h(x))=g'(h(x))\cdot h'(x).

Passo 2

Derivando o termo x^{8} pela regra do poder, temos
\frac{d}{dx}x^{8} = 8x^{7}.

Passo 3

Derivando o termo (2x+4)^{3} pela cadeia: a parte externa é u^{3} com u=2x+4, então
\frac{d}{du}u^{3}=3u^{2}
e a derivada da parte interna u=2x+4 é
\frac{d}{dx}(2x+4)=2.
Logo,
\frac{d}{dx}(2x+4)^{3} =3(2x+4)^{2}\cdot 2 =6(2x+4)^{2}.

Passo 4

Derivando \sqrt{x}=x^{1/2} pela regra do poder:
\frac{d}{dx}x^{1/2} =\frac12\,x^{-1/2} =\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Somando as três derivadas:
f'(x)=8x^{7}+6(2x+4)^{2}+\frac{1}{2}x^{-1/2}.

Resposta

f'(x)=8x^{7}+6(2x+4)^{2}+\frac{1}{2}x^{-\tfrac12}.

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