Derive as funções dadas a seguir:
f(x)=x^{-4} \cdot \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^{-4}\cdot\cos(x). O conteúdo envolvido é a regra do produto e as derivadas de uma potência e da função cosseno.

Passo 2

A regra do produto estabelece que, para duas funções u(x) e v(x),
(uv)' = u'\,v + u\,v'.

Passo 3

Aqui temos
u(x) = x^{-4},\quad v(x)=\cos(x).
Calculando as derivadas individuais:
u'(x) = -4\,x^{-5}, \qquad v'(x) = -\sin(x).

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = \bigl(-4\,x^{-5}\bigr)\cos(x) + x^{-4}\bigl(-\sin(x)\bigr).
Podemos reescrever de forma simplificada:
f'(x) = -4\,x^{-5}\cos(x) - x^{-4}\sin(x).

Resposta

f'(x) = -4\,x^{-5}\cos(x) - x^{-4}\sin(x).

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