Derive as funções dadas a seguir:
g(x)=e^{x} \cdot \operatorname{cossec}(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=e^{x}\,\operatorname{cossec}(x).
O conteúdo envolve regra do produto e a derivada da função \operatorname{cossec}(x).

Passo 2

Para obter \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cossec}(x)\bigr), lembramos que \operatorname{cossec}(x)=1/\sin(x). Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cossec}(x)\bigr) =\frac{d}{dx}\Bigl(\sin(x)^{-1}\Bigr) =-1\cdot\sin(x)^{-2}\cdot\cos(x) =-\operatorname{cossec}(x)\,\cot(x).

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
g'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)\,\operatorname{cossec}(x) +e^{x}\,\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cossec}(x)\bigr).
Como \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x} e \frac{d}{dx}(\operatorname{cossec}(x))=-\operatorname{cossec}(x)\,\cot(x), vem
g'(x) =e^{x}\,\operatorname{cossec}(x) +e^{x}\,\bigl(-\operatorname{cossec}(x)\,\cot(x)\bigr) =e^{x}\,\operatorname{cossec}(x)-e^{x}\,\operatorname{cossec}(x)\,\cot(x).

Passo 4

Fatorando e^{x}\,\operatorname{cossec}(x), obtemos
g'(x)=e^{x}\,\operatorname{cossec}(x)\,\bigl(1-\cot(x)\bigr).

Resposta

g'(x)=e^{x}\,\operatorname{cossec}(x)\,\bigl(1-\cot(x)\bigr).

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