Derive as funções dadas a seguir:
y=\frac{x^{4}+1}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = \frac{x^{4} + 1}{\sqrt{x}}
e pede a derivada y'. O conteúdo aqui é a aplicação da regra da soma e da regra da potência, após reescrever a função em forma de potências de x.

Passo 2

Reescrevemos a função em potências de x:
y = (x^{4} + 1)\,x^{-\tfrac12} = x^{4 - \tfrac12} + x^{-\tfrac12} = x^{\tfrac72} + x^{-\tfrac12}.

Passo 3

Aplicamos a regra da potência em cada termo. Para x^{\tfrac72} e x^{-\tfrac12} temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac72}\bigr) = \tfrac72\,x^{\tfrac52}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(x^{-\tfrac12}\bigr) = -\tfrac12\,x^{-\tfrac32}.
Logo,
y' = \tfrac72\,x^{\tfrac52} \;-\;\tfrac12\,x^{-\tfrac32}.

Passo 4

Para simplificar, fatoramos \tfrac12\,x^{-\tfrac32}:
y' = \tfrac12\,x^{-\tfrac32}\bigl(7x^{4} - 1\bigr).
Em forma de fração de potências positivas:
y' = \frac{7x^{4} - 1}{2\,x^{\tfrac32}}.

Resposta

y' = \frac{7x^{4} - 1}{2\,x^{\tfrac32}}.

Exercícios relacionados