Derive as funções dadas a seguir:
y=\frac{x^{3} \cdot \tan (x)}{\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \frac{x^{3}\,\tan(x)}{\cos(x)}.
Aqui vamos usar as regras de derivação de produto e quociente, além das derivadas de funções trigonométricas ( \tan'=\operatorname{sec}^{2} e \cos'=-\sin).

Passo 2

Para facilitar, reescrevemos
y = x^{3}\,\frac{\tan(x)}{\cos(x)} = x^{3}\,\frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)}.
Definimos
g(x)=\frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)},
de modo que
y = x^{3}\,g(x).

Passo 3

Aplicando a regra do produto em
y = x^{3}\,g(x),
temos
y' = 3x^{2}\,g(x) + x^{3}\,g'(x).

Passo 4

Agora derivamos
g(x)=\frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)}
pela regra do quociente. Seja
\;u(x)=\sin(x), \;v(x)=\cos^{2}(x).
Então
u'=\cos(x),\qquad v' = 2\cos(x)\,(-\sin(x)) = -2\sin(x)\cos(x).
Logo
g'(x) = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}} = \frac{\cos(x)\cos^{2}(x) - \sin(x)\bigl(-2\sin(x)\cos(x)\bigr)}{\cos^{4}(x)}.

Passo 5

No numerador:
\cos(x)\cos^{2}(x) +2\sin^{2}(x)\cos(x) = \cos(x)\bigl(\cos^{2}(x)+2\sin^{2}(x)\bigr) = \cos(x)\bigl(1+\sin^{2}(x)\bigr).
Portanto
g'(x) = \frac{\cos(x)\bigl(1+\sin^{2}(x)\bigr)}{\cos^{4}(x)} = \frac{1+\sin^{2}(x)}{\cos^{3}(x)}.

Passo 6

Substituindo g e g' em
y' = 3x^{2}\,g(x) + x^{3}\,g'(x),
temos
y' = 3x^{2}\,\frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)} + x^{3}\,\frac{1+\sin^{2}(x)}{\cos^{3}(x)}.

Passo 7

Para unificar denominação, escrevemos com denomínio comum \cos^{3}(x):
y' = \frac{3x^{2}\sin(x)\cos(x)}{\cos^{3}(x)} + \frac{x^{3}(1+\sin^{2}(x))}{\cos^{3}(x)} = \frac{3x^{2}\sin(x)\cos(x) + x^{3}\bigl(1+\sin^{2}(x)\bigr)}{\cos^{3}(x)}.

Resposta

y' = \frac{3x^{2}\sin(x)\cos(x) + x^{3}\bigl(1+\sin^{2}(x)\bigr)}{\cos^{3}(x)}.

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