Derive as funções dadas a seguir:
y=\frac{\operatorname{sec} (x)}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = \frac{\operatorname{sec}(x)}{\sqrt{x}}
e pede y'. O conteúdo envolvido é derivação de produto e potência, além da derivada de \operatorname{sec}(x). Vamos usar a regra do produto e a regra da potência.

Passo 2

Reescrevemos y como produto de funções mais simples:
y = \operatorname{sec}(x)\;x^{-\tfrac12}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto, que diz
\bigl(fg\bigr)' = f'\,g + f\,g'.
Aqui f(x)=\operatorname{sec}(x) e g(x)=x^{-\tfrac12}. Sabemos que
f'(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x), \quad g'(x) = -\tfrac12\,x^{-\tfrac32}.

Passo 4

Substituindo em \bigl(fg\bigr)':
y' = \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,x^{-\tfrac12} \;+\;\operatorname{sec}(x)\,\bigl(-\tfrac12\,x^{-\tfrac32}\bigr).

Passo 5

Fatoramos \operatorname{sec}(x)\,x^{-\tfrac12} para simplificar:
y' = \operatorname{sec}(x)\,x^{-\tfrac12}\Bigl(\tan(x)\;-\;\tfrac1{2x}\Bigr).
Uma forma equivalente é
y' = \frac{\operatorname{sec}(x)}{2x\sqrt{x}}\bigl(2x\tan(x)-1\bigr).

Resposta

y' = \operatorname{sec}(x)\,x^{-\tfrac12}\Bigl(\tan(x)-\tfrac1{2x}\Bigr),
ou ainda
y' = \frac{\operatorname{sec}(x)}{2x\sqrt{x}}\bigl(2x\tan(x)-1\bigr).

Exercícios relacionados