Usando as regras de derivação apropriadas, calcule cada uma das derivadas solicitadas.
A segunda derivada de r(x)=\log _{a}\left(x^{3}-e^{x}+5\right).

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de
r(x)=\log_{a}\bigl(x^{3}-e^{x}+5\bigr).
O conteúdo envolvido é a regra da derivada de um logaritmo de base a, que diz
\frac{d}{dx}\log_{a}f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)\,\ln a},
e depois usaremos a regra do quociente para derivar a primeira derivada.

Passo 2

Vamos primeiro achar a primeira derivada r'(x). Seja
f(x)=x^{3}-e^{x}+5,
então f'(x)=3x^{2}-e^{x} e, pela regra do logaritmo,
r'(x) =\frac{f'(x)}{f(x)\,\ln a} =\frac{3x^{2}-e^{x}}{\bigl(x^{3}-e^{x}+5\bigr)\,\ln a}.

Passo 3

Para obter r''(x), derivamos
r'(x)=\frac{1}{\ln a}\,\frac{3x^{2}-e^{x}}{x^{3}-e^{x}+5}
usando a regra do quociente. Definimos
u(x)=3x^{2}-e^{x},\quad u'(x)=6x-e^{x},
v(x)=x^{3}-e^{x}+5,\quad v'(x)=3x^{2}-e^{x}.
Então
\frac{d}{dx}\frac{u}{v} =\frac{u'v - u\,v'}{v^{2}} =\frac{(6x-e^{x})(x^{3}-e^{x}+5) -(3x^{2}-e^{x})^{2}}{(x^{3}-e^{x}+5)^{2}}.
Assim
r''(x) =\frac{1}{\ln a}\, \frac{(6x-e^{x})(x^{3}-e^{x}+5) -(3x^{2}-e^{x})^{2}}{(x^{3}-e^{x}+5)^{2}}.

Passo 4

Se desejarmos, podemos expandir e agrupar o numerador:
(6x-e^{x})(x^{3}-e^{x}+5) -(3x^{2}-e^{x})^{2} =-3x^{4}-x^{3}e^{x}+6x^{2}e^{x}-6x e^{x}-5e^{x}+30x.
Logo uma forma final é
r''(x) =\frac{-3x^{4}-x^{3}e^{x}+6x^{2}e^{x}-6x e^{x}-5e^{x}+30x} {(x^{3}-e^{x}+5)^{2}\,\ln a}.

Resposta

r''(x) =\frac{1}{\ln a}\, \frac{(6x-e^{x})(x^{3}-e^{x}+5) -(3x^{2}-e^{x})^{2}}{(x^{3}-e^{x}+5)^{2}}.

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