Usando limites exponenciais ou a regra de L’Hôpital, calcule os seguintes limites:
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{2}-9 x+14}{x^{2}-6 x+8}\right)^{x}

Passo 1

O problema pede o cálculo do limite
\lim_{x\rightarrow+\infty}\biggl(\frac{x^{2}-9x+14}{x^{2}-6x+8}\biggr)^{x},
que é da forma \bigl(1+\varepsilon(x)\bigr)^{x} com \varepsilon(x)\to0. Para lidar com esse tipo de limite, usamos o fato de que
\lim_{x\to\infty}\bigl(1+\varepsilon(x)\bigr)^{x} = \exp\!\Bigl(\lim_{x\to\infty}x\,\varepsilon(x)\Bigr),
sempre que \varepsilon(x)\to0.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{x^{2}-9x+14}{x^{2}-6x+8},
então
f(x)-1 =\frac{x^{2}-9x+14 - \bigl(x^{2}-6x+8\bigr)}{x^{2}-6x+8} =\frac{-3x+6}{x^{2}-6x+8} =\frac{-3(x-2)}{x^{2}-6x+8}.

Passo 3

Precisamos calcular
\lim_{x\to\infty}x\bigl(f(x)-1\bigr) =\lim_{x\to\infty}\frac{-3x\,(x-2)}{x^{2}-6x+8}.
Para x\to\infty, o numerador é -3x^{2}+6x e o denominador é x^{2}-6x+8, logo
\lim_{x\to\infty}\frac{-3x^{2}+6x}{x^{2}-6x+8} =-3.

Passo 4

Pelo passo 1, o limite original vale
\exp\!\Bigl(\lim_{x\to\infty}x(f(x)-1)\Bigr) =\exp(-3) =e^{-3}.

Resposta

e^{-3}

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