Derive as funções:
f(x)=\frac{x^{3}+x}{x^{4}-2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{3}+x}{x^{4}-2}.
Aqui vamos usar a regra do quociente: se f(x)=\frac{U(x)}{V(x)}, então
f'(x)=\frac{U'(x)\,V(x)-U(x)\,V'(x)}{\bigl(V(x)\bigr)^{2}}.

Passo 2

Identificamos
U(x)=x^{3}+x, \qquad V(x)=x^{4}-2.
Derivando cada um:
U'(x)=3x^{2}+1, \qquad V'(x)=4x^{3}.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, obtemos
f'(x) =\frac{(3x^{2}+1)(x^{4}-2)\;-\;(x^{3}+x)(4x^{3})}{(x^{4}-2)^{2}}.

Passo 4

Agora, simplificamos o numerador em duas etapas:
(3x^{2}+1)(x^{4}-2)=3x^{6}+x^{4}-6x^{2}-2,
(x^{3}+x)(4x^{3})=4x^{6}+4x^{4}.
Subtraindo, fica
3x^{6}+x^{4}-6x^{2}-2\;-\;(4x^{6}+4x^{4}) =-x^{6}-3x^{4}-6x^{2}-2.

Resposta

f'(x) =\frac{-x^{6}-3x^{4}-6x^{2}-2}{(x^{4}-2)^{2}}.

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