Derive as funções:
f(t)=\frac{t-\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{3}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=\frac{t-\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{3}}}.
Para isso usamos a regra da potência, que diz que
\frac{d}{dt}\bigl(t^a\bigr)=a\,t^{a-1}.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão escrevendo as potências:
\sqrt{t}=t^{\frac12} \quad\text{e}\quad t=\;t^1,
então
f(t) =\frac{t^1 - t^{\frac12}}{t^{\frac13}} = t^{1-\frac13} - t^{\frac12-\frac13} = t^{\frac23} - t^{\frac16}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência termo a termo:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{\tfrac23}\bigr) =\frac{2}{3}\,t^{\frac23-1} =\frac{2}{3}\,t^{-\frac{1}{3}},
\frac{d}{dt}\bigl(t^{\tfrac16}\bigr) =\frac{1}{6}\,t^{\frac16-1} =\frac{1}{6}\,t^{-\frac{5}{6}}.
Como havia um sinal menos, a derivada total é
f'(t) =\frac{2}{3}\,t^{-\frac{1}{3}} -\frac{1}{6}\,t^{-\frac{5}{6}}.

Resposta

f'(t) =\frac{2}{3}\,t^{-\frac{1}{3}} -\frac{1}{6}\,t^{-\frac{5}{6}}.

Exercícios relacionados