Derive as funções:
f(t)=\frac{t+1}{t^{3}+t-2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função racional
f(t)=\frac{t+1}{t^{3}+t-2}
O conteúdo envolvido é a regra do quociente para derivadas.

Passo 2

A regra do quociente diz que, para duas funções u(t) e v(t),
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)'=\frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}}.

Passo 3

Identificamos
u(t)=t+1,\quad v(t)=t^{3}+t-2.
Logo
u'(t)=1, \quad v'(t)=3t^{2}+1.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente, obtemos
f'(t) =\frac{1\cdot(t^{3}+t-2)-(t+1)\cdot(3t^{2}+1)}{(t^{3}+t-2)^{2}}.
No numerador,
1\cdot(t^{3}+t-2)-(t+1)(3t^{2}+1) =t^{3}+t-2 - (3t^{3}+3t^{2}+t+1) =-2t^{3}-3t^{2}-3.
Portanto
f'(t) =\frac{-2t^{3}-3t^{2}-3}{(t^{3}+t-2)^{2}} =-\frac{2t^{3}+3t^{2}+3}{(t^{3}+t-2)^{2}}.

Resposta

f'(t)=-\frac{2t^{3}+3t^{2}+3}{(t^{3}+t-2)^{2}}.

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