Derive as funções:
f(x)=\left(x^{\frac{3}{2}}+e^{x}\right)(3-\sqrt{x})

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\bigl(x^{\tfrac{3}{2}}+e^{x}\bigr)\,(3-\sqrt{x}).
O conteúdo principal aqui é a regra do produto e as derivadas de funções potenciais e exponenciais.

Passo 2

Vamos separar a função em duas partes para aplicar a regra do produto. Definimos
u(x)=x^{\tfrac{3}{2}}+e^{x},
v(x)=3-\sqrt{x}=3-x^{\tfrac12}.
A regra do produto diz que
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v usando regra do poder e exponencial:
u'(x)=\frac{3}{2}\,x^{\tfrac12}+e^{x},
v'(x)=-\frac12\,x^{-\tfrac12}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula f'=u'v+uv':
f'(x) =\Bigl(\frac{3}{2}x^{\tfrac12}+e^{x}\Bigr)\,(3-x^{\tfrac12}) +(x^{\tfrac{3}{2}}+e^{x})\Bigl(-\frac12\,x^{-\tfrac12}\Bigr).

Passo 5

Vamos simplificar termo a termo:
  1. Expandindo o primeiro produto:
\Bigl(\frac{3}{2}x^{\tfrac12}+e^{x}\Bigr)(3-x^{\tfrac12}) =\frac{9}{2}x^{\tfrac12}-\frac{3}{2}x+3e^{x}-e^{x}x^{\tfrac12}.
  1. Expandindo o segundo produto:
(x^{\tfrac{3}{2}}+e^{x})\Bigl(-\frac12\,x^{-\tfrac12}\Bigr) =-\frac12\,x-\frac12\,e^{x}x^{-\tfrac12}.
  1. Somando tudo:
f'(x) =\Bigl(\tfrac{9}{2}x^{\tfrac12}-\tfrac{3}{2}x+3e^{x}-e^{x}x^{\tfrac12}\Bigr) +\Bigl(-\tfrac12\,x-\tfrac12\,e^{x}x^{-\tfrac12}\Bigr).
Agrupando termos semelhantes em x:
-\tfrac{3}{2}x-\tfrac12\,x=-2x,
em x^{\tfrac12}:
\tfrac{9}{2}x^{\tfrac12},
e em e^{x}:
3e^{x}-e^{x}x^{\tfrac12}-\tfrac12\,e^{x}x^{-\tfrac12}.
Logo,
f'(x)=-2x+\frac{9}{2}x^{\tfrac12}+3e^{x}-e^{x}x^{\tfrac12}-\frac12\,e^{x}x^{-\tfrac12}.

Resposta

f'(x) =-2x+\frac{9}{2}\,x^{\tfrac12} +3e^{x} -e^{x}x^{\tfrac12} -\tfrac12\,e^{x}x^{-\tfrac12}.

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