Encontre a derivada das funções usando a propriedade indicada.
f(x)=\left(x^{4}-2\right)\left(x^{2}+4 x\right) Derivada do produto.

Passo 1

O enunciado fornece a função e pede a derivada usando a propriedade indicada:
  • Função dada: f(x)=\left(x^{4}-2\right)\left(x^{2}+4x\right).
  • Pedido: calcular a derivada de f(x) usando a “derivada do produto” (produto de duas funções).

Passo 2

Apresentar a regra do produto e explicar o que cada termo significa.
A regra do produto diz que, se temos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto u(x)\,v(x) é
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando cada símbolo:
  • u(x) e v(x) são as duas funções que multiplicamos.
  • u'(x) é a derivada de u(x) em relação a x.
  • v'(x) é a derivada de v(x) em relação a x.
  • O resultado é a soma de “derivar a primeira e multiplicar pela segunda” com “manter a primeira e multiplicar pela derivada da segunda”.
Também vamos usar regras básicas para derivar polinômios:
  • Regra do poder (power rule): \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1} para qualquer inteiro n.
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A derivada de soma é a soma das derivadas.

Passo 3

Identificar u(x) e v(x) e calcular suas derivadas separadamente.
Escolhemos
u(x)=x^{4}-2,\qquad v(x)=x^{2}+4x.
Aplicando a regra do poder e a regra da soma:
  • Derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)-\frac{d}{dx}(2)=4x^{3}-0=4x^{3}.
  • Derivada de v(x):
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(4x\bigr)=2x+4.

Passo 4

Aplicar a regra do produto e simplificar passo a passo.
Pela regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\bigl(4x^{3}\bigr)\bigl(x^{2}+4x\bigr)+\bigl(x^{4}-2\bigr)\bigl(2x+4\bigr).
Agora multiplicar termo a termo:
  • Primeiro produto:
4x^{3}\cdot x^{2}=4x^{5},\qquad 4x^{3}\cdot 4x=16x^{4},
então 4x^{3}(x^{2}+4x)=4x^{5}+16x^{4}.
  • Segundo produto:
x^{4}\cdot 2x=2x^{5},\qquad x^{4}\cdot 4=4x^{4},
-2\cdot 2x=-4x,\qquad -2\cdot 4=-8,
então (x^{4}-2)(2x+4)=2x^{5}+4x^{4}-4x-8.
Somando os dois resultados:
f'(x)=(4x^{5}+16x^{4})+(2x^{5}+4x^{4}-4x-8).
Agrupando termos semelhantes:
f'(x)=\bigl(4x^{5}+2x^{5}\bigr)+\bigl(16x^{4}+4x^{4}\bigr)-4x-8=6x^{5}+20x^{4}-4x-8.

Passo 5

Verificação rápida (modo diferente): expandir f(x) primeiro e depois derivar para checar consistência.
Expandindo:
f(x)=(x^{4}-2)(x^{2}+4x)=x^{6}+4x^{5}-2x^{2}-8x.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{6}\bigr)=6x^{5},\quad \frac{d}{dx}\bigl(4x^{5}\bigr)=20x^{4},\quad \frac{d}{dx}\bigl(-2x^{2}\bigr)=-4x,\quad \frac{d}{dx}\bigl(-8x\bigr)=-8.
Somando:
f'(x)=6x^{5}+20x^{4}-4x-8,
que coincide com o resultado obtido pela regra do produto — bom sinal!

Resposta

f'(x)=6x^{5}+20x^{4}-4x-8

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