Encontre a derivada das funções usando a propriedade indicada.
Derivada do produto.
Passo 1
O enunciado fornece a função e pede a derivada usando a propriedade indicada:
- Função dada:
. - Pedido: calcular a derivada de
usando a “derivada do produto” (produto de duas funções).
Passo 2
Apresentar a regra do produto e explicar o que cada termo significa.
A regra do produto diz que, se temos duas funções
e
, a derivada do produto
é
Explicando cada símbolo:
-
e são as duas funções que multiplicamos. -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a . - O resultado é a soma de “derivar a primeira e multiplicar pela segunda” com “manter a primeira e multiplicar pela derivada da segunda”.
Também vamos usar regras básicas para derivar polinômios:
- Regra do poder (power rule):
para qualquer inteiro . - A derivada de uma constante é
. - A derivada de soma é a soma das derivadas.
Passo 3
Identificar
e
e calcular suas derivadas separadamente.
Escolhemos
Aplicando a regra do poder e a regra da soma:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 4
Aplicar a regra do produto e simplificar passo a passo.
Pela regra do produto:
Substituindo
:
Agora multiplicar termo a termo:
- Primeiro produto:
então
- Segundo produto:
então
Somando os dois resultados:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Verificação rápida (modo diferente): expandir
primeiro e depois derivar para checar consistência.
Expandindo:
Derivando termo a termo:
Somando:
que coincide com o resultado obtido pela regra do produto — bom sinal!