Encontre a derivada das funções usando a propriedade indicada.
f(x)=\frac{x^{3}+x}{x^{2}-3} Derivada do quociente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função usando a propriedade indicada (derivada do quociente). A função dada é
f(x)=\frac{x^{3}+x}{x^{2}-3}.
Informações que temos:
  • Numerador: u(x)=x^{3}+x.
  • Denominador: v(x)=x^{2}-3.
    O objetivo: encontrar f'(x) aplicando a regra do quociente.

Passo 2

Apresentando a regra do quociente e as ferramentas necessárias (aulas curtinhas):
  • Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas do numerador e do denominador.
  • Relembrando a regra da potência (oficina básica): para g(x)=x^{n} tem-se g'(x)=n x^{n-1}. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero.
Agora calculemos u'(x) e v'(x):
  • u(x)=x^{3}+x. Aplicando a regra da potência termo a termo: u'(x)=3x^{2}+1.(porque \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2} e \dfrac{d}{dx}x=1.)
  • v(x)=x^{2}-3. Aplicando a regra da potência: v'(x)=2x.(porque \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x e \dfrac{d}{dx}(-3)=0.)

Passo 3

Aplicando a regra do quociente substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{(3x^{2}+1)(x^{2}-3)-(x^{3}+x)(2x)}{(x^{2}-3)^{2}}.
Agora vamos simplificar passo a passo o numerador.
  1. Expansão do primeiro produto (3x^{2}+1)(x^{2}-3):
(3x^{2}+1)(x^{2}-3)=3x^{2}\cdot x^{2}+3x^{2}\cdot(-3)+1\cdot x^{2}+1\cdot(-3).
Calculando cada termo:
3x^{4}-9x^{2}+x^{2}-3=3x^{4}-8x^{2}-3.
  1. Expansão do segundo produto (x^{3}+x)(2x):
(x^{3}+x)(2x)=2x\cdot x^{3}+2x\cdot x=2x^{4}+2x^{2}.
  1. Subtração entre os dois resultados (lembrando do sinal):
\bigl(3x^{4}-8x^{2}-3\bigr)-\bigl(2x^{4}+2x^{2}\bigr) =3x^{4}-8x^{2}-3-2x^{4}-2x^{2}.
Agrupando termos semelhantes:
(3x^{4}-2x^{4})+(-8x^{2}-2x^{2})-3 = x^{4}-10x^{2}-3.
Portanto o numerador simplificado é x^{4}-10x^{2}-3. Mantendo o denominador já quadrado, obtemos a forma simplificada da derivada (já pronta para a prova).
Observação sobre domínio: a expressão da derivada só faz sentido quando o denominador original é diferente de zero, isto é, quando x^{2}-3\neq0, ou seja, x\neq \pm\sqrt{3}.

Passo 4

Dica prática para a prova (passo a passo curto que dá segurança):
  • Identifique u e v claramente (escreva-os).
  • Calcule u' e v' com a regra da potência.
  • Substitua na fórmula \dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
  • Expanda só o suficiente para combinar termos iguais; simplifique o numerador.
  • Verifique os pontos onde o denominador zera (porque aí a derivada não existe).
Você conseguiu! Se houver pouco tempo na prova, faça exatamente essas etapas em ordem e com calma.

Resposta

f'(x)=\frac{x^{4}-10x^{2}-3}{(x^{2}-3)^{2}}

Exercícios relacionados