Encontre a derivada das funções usando a propriedade indicada.
Derivada do quociente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função usando a propriedade indicada (derivada do quociente). A função dada é
Informações que temos:
- Numerador:
. - Denominador:
.
O objetivo: encontraraplicando a regra do quociente.
Passo 2
Apresentando a regra do quociente e as ferramentas necessárias (aulas curtinhas):
- Regra do quociente: se
com , então
Aqui
e
são as derivadas do numerador e do denominador.
- Relembrando a regra da potência (oficina básica): para
tem-se . A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero.
Agora calculemos
e
:
-
. Aplicando a regra da potência termo a termo: (porque e .) -
. Aplicando a regra da potência: (porque e .)
Passo 3
Aplicando a regra do quociente substituindo
:
Agora vamos simplificar passo a passo o numerador.
- Expansão do primeiro produto
:
Calculando cada termo:
- Expansão do segundo produto
:
- Subtração entre os dois resultados (lembrando do sinal):
Agrupando termos semelhantes:
Portanto o numerador simplificado é
. Mantendo o denominador já quadrado, obtemos a forma simplificada da derivada (já pronta para a prova).
Observação sobre domínio: a expressão da derivada só faz sentido quando o denominador original é diferente de zero, isto é, quando
, ou seja,
.
Passo 4
Dica prática para a prova (passo a passo curto que dá segurança):
- Identifique
e claramente (escreva-os). - Calcule
e com a regra da potência. - Substitua na fórmula
. - Expanda só o suficiente para combinar termos iguais; simplifique o numerador.
- Verifique os pontos onde o denominador zera (porque aí a derivada não existe).
Você conseguiu! Se houver pouco tempo na prova, faça exatamente essas etapas em ordem e com calma.