Derive as funções:
f(x)=\sqrt[3]{1+\operatorname{tg}(x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt[3]{1+\tan(x)}
Esse é um caso de função composta: definimos u(x)=1+\tan(x) e depois fazemos f(x)=u(x)^{1/3}. Vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Seja u(x)=1+\tan(x). Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Agora calculamos cada parte separadamente.

Passo 3

A derivada de u^{1/3} em relação a u é
\frac{df}{du}=\frac{d}{du}\bigl(u^{1/3}\bigr)=\frac{1}{3}u^{-2/3}.
A derivada de u(x)=1+\tan(x) em relação a x é
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(1+\tan(x)\bigr)=\operatorname{sec}^2(x).
Substituindo em f'(x), temos
f'(x)=\frac{1}{3}u^{-2/3}\,\operatorname{sec}^2(x) =\frac{1}{3}(1+\tan(x))^{-2/3}\,\operatorname{sec}^2(x).

Resposta

f'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2(x)}{3\sqrt[3]{\bigl(1+\tan(x)\bigr)^{2}}}.

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