Um estudo de impacto ambiental revela que a concentração P de um certo poluente no ar, em partes por milhão, pode ser modelada pela equação
P=0,25 \sqrt{0,5 n^{2}+5 n+25}
onde n é o número de residentes, em milhares de pessoas. Determine a taxa de aumento da concentração do poluente para uma população de 12.000 habitantes.

Passo 1

O enunciado dá a concentração de poluente
P(n)=0,25\sqrt{0,5\,n^{2}+5\,n+25}
onde n é o número de habitantes em milhares, e pede a taxa de aumento de P quando a população é de 12\,000 habitantes (isto é, n=12). Para isso vamos calcular a derivada P'(n) e depois avaliar em n=12.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia a
P(n)=0,25\bigl(g(n)\bigr)^{1/2}, \quad g(n)=0,5\,n^{2}+5\,n+25,
temos
P'(n) =0,25\cdot\tfrac12\bigl(g(n)\bigr)^{-1/2}\,g'(n) =0,125\,\frac{g'(n)}{\sqrt{g(n)}}.
Como
g'(n)=\frac{d}{dn}(0,5\,n^{2}+5\,n+25)=n+5,
segue
P'(n)=0,125\,\frac{n+5}{\sqrt{0,5\,n^{2}+5\,n+25}}.

Passo 3

Agora substituímos n=12:
g(12)=0,5\cdot12^{2}+5\cdot12+25=72+60+25=157,
P'(12) =0,125\,\frac{12+5}{\sqrt{157}} =0,125\cdot\frac{17}{\sqrt{157}} \approx\frac{2,125}{12,5299} \approx0,17.
A unidade de P'(n) é partes por milhão por milhar de habitantes.

Resposta

A taxa de aumento da concentração é aproximadamente 0,17 ppm por milhar de habitantes quando a população chega a 12\,000.

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