Derive as funções:

Passo 1

Nesta questão queremos encontrar a derivada de f(x)= raiz[3]xx^3+1. O conteúdo principal é diferenciação de funções compostas, usando a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma mais amigável para derivar: f(x)= (x/(x^3+1))^1/3. Assim fica claro que temos uma potência com expoente 1/3 aplicada ao quociente x/(x^3+1).

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia. Se f(x)=[g(x)]^1/3, então
f'(x)=13[g(x)]^-2/3cdot g'(x)
Aqui g(x)=x/(x^3+1). Precisamos de g'(x), que calculamos pela regra do quociente:
g'(x)=(1)(x^3+1)-xcdot(3x^2)(x^3+1)^2=x^3+1-3x^3(x^3+1)^2=1-2x^3(x^3+1)^2

Passo 4

Substituindo em f’(x) temos:
f'(x)=13gl(xx^3+1gr)^-2/3cdot1-2x^3(x^3+1)^2

Passo 5

Para simplificar, note que
gl(xx^3+1gr)^-2/3=(x^3+1)^2/3x^2/3
Então o produto fica
f'(x)=1-2x^33cdot(x^3+1)^2/3x^2/3(x^3+1)^2=1-2x^33,x^2/3(x^3+1)^4/3

Resposta

f'(x)=1-2x^33,x^2/3(x^3+1)^4/3

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