Verifique se as séries convergem absolutamente ou condicionamente e, depois, verifique e compare os erros cometidos ao se aproximar a soma com os quatro primeiros termos.
9) ,
Passo 1
O enunciado nos pede para estudar a série
verificando se ela converge absolutamente ou condicionalmente, e depois aproximar sua soma pelos quatro primeiros termos e comparar os erros. Vamos usar o teste da série harmônica para a parte absoluta e o critério de Leibniz para séries alternantes.
Passo 2
Para investigar a convergência absoluta, consideramos
Sabemos que a série harmônica sum1/k diverge (pelo teste da integral ou comparativo). Portanto a nossa série não converge absolutamente.
Passo 3
Agora aplicamos o critério de Leibniz. Chamemos ak=1/k. Temos:
ak>0 e decrescente, pois tfrac1k+1<tfrac1k.
limktoinftyak=limktoinfty1k=0.
Logo, pelo critério de Leibniz, a série alternante converge. Como não converge absolutamente, ela converge condicionalmente. Sabe-se ainda que
sumk=1^infty(-1)^k+11k=ln2
Passo 4
Vamos aproximar a soma pelos quatro primeiros termos: