Verifique se as séries convergem absolutamente ou condicionamente e, depois, verifique e compare os erros cometidos ao se aproximar a soma com os quatro primeiros termos.
9) sumk=1^infty(-1)^k+1 1k,

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a série
sumk=1^infty(-1)^k+11k
verificando se ela converge absolutamente ou condicionalmente, e depois aproximar sua soma pelos quatro primeiros termos e comparar os erros. Vamos usar o teste da série harmônica para a parte absoluta e o critério de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Para investigar a convergência absoluta, consideramos
sumk=1^inftyl|;(-1)^k+11kr| ;=;sumk=1^infty1k
Sabemos que a série harmônica sum1/k diverge (pelo teste da integral ou comparativo). Portanto a nossa série não converge absolutamente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz. Chamemos ak=1/k. Temos:
  1. ak>0 e decrescente, pois tfrac1k+1<tfrac1k.
  2. limktoinftyak=limktoinfty1k=0.
    Logo, pelo critério de Leibniz, a série alternante converge. Como não converge absolutamente, ela converge condicionalmente. Sabe-se ainda que
sumk=1^infty(-1)^k+11k=ln2

Passo 4

Vamos aproximar a soma pelos quatro primeiros termos:
S4 = 1 - 12 + 13 - 14 = 1 - 0,5 + 0,3333 - 0,25 = 0,5833ldots

Passo 5

O critério de Leibniz dá um limite para o erro Rn = S - Sn:
|Rn|<= a,n+1=1n+1
Para n=4,
|R4|<= 15 = 0,2

Passo 6

O erro real aproximado é
|R4|=l|ln2 - S4r| approx |0,693147 - 0,583333| =0,109814ldots

Passo 7

Comparando, o erro estimado 0,2 é maior (mais conservador) que o erro real 0,1098.

Resposta

A série converge condicionalmente (não absolutamente).
Aproximando a soma por quatro termos obtém-se
S4approx0,5833,
o erro está estimado por |R4|<=0,2 e o erro real é |R4|approx0,1098.

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