Derive as funções
f(x)=\frac{x}{1+x} \quad e \quad g(x)=-\frac{1}{1+x}
Calcule \int \frac{1}{(1+x)^{2}} d x. O que se pode concluir a respeito da relação entre f e g ?

Passo 1

O enunciado pede para derivar as funções
f(x)=\frac{x}{1+x}
e
g(x)=-\frac{1}{1+x},
depois calcular
\int \frac{1}{(1+x)^{2}}\,dx
e concluir algo sobre a relação entre f e g. Vamos usar a regra do quociente e a regra da potência para derivação, e a regra de integração de potências para a integral.

Passo 2

Derivando f(x)=\dfrac{x}{1+x} pela regra do quociente, onde u(x)=x e v(x)=1+x:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{1\cdot(1+x)-x\cdot1}{(1+x)^{2}} =\frac{1+x-x}{(1+x)^{2}} =\frac{1}{(1+x)^{2}}.
Para g(x)=-\dfrac{1}{1+x}, escrevemos g(x)=-(1+x)^{-1} e usamos a regra da potência:
g'(x) =-\bigl(-1\bigr)(1+x)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(1+x) =\frac{1}{(1+x)^{2}}.

Passo 3

Agora calculamos
\int \frac{1}{(1+x)^{2}}\,dx.
Como \frac{1}{(1+x)^{2}}=(1+x)^{-2}, pela regra de potência na integral:
\int (1+x)^{-2}\,dx =\frac{(1+x)^{-1}}{-1}+C =-\frac{1}{1+x}+C.

Passo 4

Observamos que a derivada de f e de g é a mesma, f'(x)=g'(x)=\tfrac{1}{(1+x)^{2}}. Isso significa que f e g diferem apenas por uma constante. De fato,
f(x)-g(x) =\frac{x}{1+x} - \Bigl(-\frac{1}{1+x}\Bigr) =\frac{x+1}{1+x} =1,
ou seja
f(x)=g(x)+1.

Resposta

Derivadas:
f'(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}},\quad g'(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}}.
Integral:
\int \frac{1}{(1+x)^{2}}\,dx =-\frac{1}{1+x}+C.
Conclusão: f e g têm a mesma derivada, logo diferem por uma constante, mais exatamente f(x)=g(x)+1.

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