Determine quais das alternativas abaixo são verdadeiras, explique suas respostas:
\int_{0}^{1} x^{2} d x<\int_{0}^{1} x^{3} d x

Passo 1

O enunciado pergunta se a integral de x^2 de 0 a 1 é menor que a integral de x^3 no mesmo intervalo. O conteúdo aqui é cálculo de integrais definidas de potências.

Passo 2

Lembrando a fórmula geral para n\neq -1:
\int_{0}^{1} x^{n} dx = \frac{1}{n+1}.

Passo 3

Aplicando para n=2 e n=3, temos:
\int_{0}^{1} x^{2} dx = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3},
\int_{0}^{1} x^{3} dx = \frac{1}{3+1} = \frac{1}{4}.

Passo 4

Comparando \tfrac{1}{3} e \tfrac{1}{4}, vemos que \tfrac{1}{3}>\tfrac{1}{4}. Portanto, a desigualdade proposta
\int_{0}^{1} x^{2} dx < \int_{0}^{1} x^{3} dx
é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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