Derive as funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função h(x) = x^3raiz[3]3x^2 - 1 . Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a regra do quociente e a regra da cadeia para encontrar a derivada dessa função. Vamos precisar lembrar como aplicar essas regras para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a diferenciação. A expressão raiz[3]3x^2 - 1 é o mesmo que (3x^2 - 1)^1/3 . Então, a função fica:
h(x) = x^3(3x^2 - 1)^1/3

Passo 3

Agora, para derivar h(x) , vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função f(x)g(x) , a derivada é:
h'(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2
Mas nesse caso, é mais simples reescrever a função como um produto, o que nos permite usar a regra do produto. Vamos fazer isso:
h(x) = x^3 cdot (3x^2 - 1)^-1/3

Passo 4

Agora que temos a função como um produto, podemos aplicar a regra do produto. A regra do produto diz que se temos u(x) cdot v(x) , então a derivada é:
h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Aqui, u(x) = x^3 e v(x) = (3x^2 - 1)^-1/3 .

Passo 5

Vamos encontrar u'(x) e v'(x) :
  • Derivada de u(x) = x^3 :
u'(x) = 3x^2
  • Derivada de v(x) = (3x^2 - 1)^-1/3 :
Para isso, usamos a regra da cadeia. Primeiro, trazemos o expoente para frente:
v'(x) = -13(3x^2 - 1)^-4/3 cdot ddx(3x^2 - 1)
A derivada de 3x^2 - 1 é 6x . Então:
v'(x) = -13 cdot 6x cdot (3x^2 - 1)^-4/3 = -2x(3x^2 - 1)^-4/3

Passo 6

Agora, substituímos u'(x) e v'(x) na fórmula da regra do produto:
h'(x) = 3x^2 cdot (3x^2 - 1)^-1/3 + x^3 cdot (-2x)(3x^2 - 1)^-4/3
Simplificando:
h'(x) = 3x^2(3x^2 - 1)^1/3 - 2x^4(3x^2 - 1)^4/3

Passo 7

Para simplificar ainda mais, podemos colocar as expressões sobre um denominador comum. Observamos que (3x^2 - 1)^-4/3 é o denominador comum. Então, fatorando, temos:
h'(x) = (3x^2 - 1)^-4/3 ( 3x^2(3x^2 - 1) - 2x^4 )
Desenvolvendo a expressão dentro dos parênteses:
3x^2(3x^2 - 1) = 9x^4 - 3x^2
9x^4 - 3x^2 - 2x^4 = 7x^4 - 3x^2
Então:
h'(x) = (3x^2 - 1)^-4/3 (7x^4 - 3x^2)

Resposta

A derivada da função é:
h'(x) = 7x^4 - 3x^2(3x^2 - 1)^4/3

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