Derive as funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função
. Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a regra do quociente e a regra da cadeia para encontrar a derivada dessa função. Vamos precisar lembrar como aplicar essas regras para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a diferenciação. A expressão
é o mesmo que
. Então, a função fica:
Passo 3
Agora, para derivar
, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, a derivada é:
Mas nesse caso, é mais simples reescrever a função como um produto, o que nos permite usar a regra do produto. Vamos fazer isso:
Passo 4
Agora que temos a função como um produto, podemos aplicar a regra do produto. A regra do produto diz que se temos
, então a derivada é:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos encontrar
e
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Para isso, usamos a regra da cadeia. Primeiro, trazemos o expoente para frente:
A derivada de
é
. Então:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula da regra do produto:
Simplificando:
Passo 7
Para simplificar ainda mais, podemos colocar as expressões sobre um denominador comum. Observamos que
é o denominador comum. Então, fatorando, temos:
Desenvolvendo a expressão dentro dos parênteses:
Então:
Resposta
A derivada da função é: