Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
lim x 0 f(x), para f(x)=x|x|+x^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0f(x)
para a função
f(x)=xlvert xrvert + x^2
Esse é um problema de limite com valor absoluto, então vamos usar o estudo de limites laterais (por direita e por esquerda) e ver se eles coincidem.

Passo 2

Para lidar com lvert xrvert, separamos em dois casos:
  1. Se x>0, então lvert xrvert = x, logo
f(x)=xx + x^2 =xx(1+x) =11+x
  1. Se x<0, então lvert xrvert = -x, logo
f(x)=x-x + x^2 =xx^2 - x =xx(x-1) =1x-1

Passo 3

Calculando o limite pela direita ( xto0^+):
limxto0^+f(x) =limxto0^+11+x =11+0 =1

Passo 4

Calculando o limite pela esquerda ( xto0^-):
limxto0^-f(x) =limxto0^-1x-1 =10-1 =-1

Passo 5

Os limites laterais são diferentes ( 1neq -1), portanto o limite limxto0f(x) não existe.

Resposta

O limite limxto0 xlvert xrvert + x^2 não existe.

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