Derive as funções a seguir:
(d) f(x)=x^21+x^2 Resp: f^prime(x)=2 x(1+x^2)^2

Passo 1

Estamos com a função f(x)=x^21+x^2. O conteúdo aqui é derivação de quociente, e vamos usar a regra do quociente: se f(x)=u(x)v(x), então f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2.

Passo 2

Identificamos as funções interna do quociente: u(x)=x^2 e v(x)=1+x^2.

Passo 3

Derivamos cada parte separadamente: a derivada de u(x)=x^2 é u'(x)=2x, e a derivada de v(x)=1+x^2 é v'(x)=2x.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2=(2x)(1+x^2)-(x^2)(2x)(1+x^2)^2

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
(2x)(1+x^2)-(x^2)(2x)=2x+2x^3-2x^3=2x

Passo 6

Logo ficamos com:
f'(x)=2x(1+x^2)^2

Resposta

f'(x)=2x(1+x^2)^2

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