Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais, usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
y^prime prime+3 y^prime=2 x^4+x^2 e^-3 x+sen(3 x)

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO não‐homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' = 2x^4 + x^2 e^-3x + sin(3x)
O conteúdo é o Método dos Coeficientes a Determinar: primeiro achamos a solução complementar (homogênea) e depois somamos a solução particular, escolhendo ansatz adequados para cada termo do lado direito.

Passo 2

A equação característica associada à parte homogênea é
r^2 + 3r = 0 Rightarrow r(r + 3) = 0
Logo as raízes são r = 0 e r = -3, e a solução complementar fica
yc(x) = C1 + C2 e^-3x

Passo 3

Para o termo polinomial 2x^4, usamos um ansatz polinomial de grau 5 multiplicado por x (pois r=0 é raiz simples):
yp1(x) = A x^5 + B x^4 + C x^3 + D x^2 + E x
Calculando yp1''+3yp1', igualamos os coeficientes a 2x^4 e obtivemos:
A=tfrac215,;B=-tfrac29,;C=tfrac827,;D=-tfrac827,;E=tfrac1681
Assim
yp1(x)=tfrac215x^5 - tfrac29x^4 + tfrac827x^3 - tfrac827x^2 + tfrac1681x

Passo 4

Para o termo x^2 e^-3x, como r=-3 também é raiz simples, escolhemos
yp2(x)=e^-3x(F x^3 + G x^2 + H x)
Substituindo em y''+3y' e igualando a x^2 e^-3x, achamos
$$F=-\tfrac{1}{9},;G=-\tfrac{1}{9},;H=-\tfrac{2}{27}.
F=-tfrac19,;G=-tfrac19,;H=-tfrac227 ã
y_{p2}(x)=-e{-3x}\Bigl(\tfrac{1}{9}x3 + \tfrac{1}{9}x^2 + \tfrac{2}{27}x\Bigr).
$$

Passo 5

Para o termo sin(3x), usamos o ansatz
yp3(x)=Mcos(3x)+Nsin(3x)
Derivando e igualando y''+3y' a sin(3x), obtemos
$$M=N=-\tfrac{1}{18}.
M=N=-tfrac118
y_{p3}(x)=-\tfrac{1}{18}\cos(3x)-\tfrac{1}{18}\sin(3x).
$$

Passo 6

A solução geral é a soma de yc e dos particulares:
y(x)=C1 + C2 e^-3x + yp1(x) + yp2(x) + yp3(x)

Resposta

y(x)=C1 + C2 e^-3x + tfrac215x^5 - tfrac29x^4 + tfrac827x^3 - tfrac827x^2 + tfrac1681x - e^-3xl(tfrac19x^3 + tfrac19x^2 + tfrac227xr) - tfrac118cos(3x) - tfrac118sin(3x).

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