Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais, usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
Passo 1
Estamos resolvendo a EDO não‐homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é o Método dos Coeficientes a Determinar: primeiro achamos a solução complementar (homogênea) e depois somamos a solução particular, escolhendo ansatz adequados para cada termo do lado direito.
Passo 2
A equação característica associada à parte homogênea é
Logo as raízes são
e
, e a solução complementar fica
Passo 3
Para o termo polinomial
, usamos um ansatz polinomial de grau 5 multiplicado por
(pois
é raiz simples):
Calculando
, igualamos os coeficientes a
e obtivemos:
Assim
Passo 4
Para o termo
, como
também é raiz simples, escolhemos
Substituindo em
e igualando a
, achamos
$$F=-\tfrac{1}{9},;G=-\tfrac{1}{9},;H=-\tfrac{2}{27}.
y_{p2}(x)=-e{-3x}\Bigl(\tfrac{1}{9}x3 + \tfrac{1}{9}x^2 + \tfrac{2}{27}x\Bigr).
$$
Passo 5
Para o termo
, usamos o ansatz
Derivando e igualando
a
, obtemos
$$M=N=-\tfrac{1}{18}.
y_{p3}(x)=-\tfrac{1}{18}\cos(3x)-\tfrac{1}{18}\sin(3x).
$$
Passo 6
A solução geral é a soma de
e dos particulares: