Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais, usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
Passo 1
Temos a equação diferencial linear de segunda ordem a coeficientes constantes
Conteúdo: método dos coeficientes a determinar para resolver
Enunciado resumido: achar a solução geral de
Passo 2
Primeiro, resolvemos a parte homogênea
.
A equação característica é
cuja raízes são
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma particular para o termo
.
Como
não são raízes da característica, fazemos o palpite
Calculando:
Substituindo em
:
Igualando a
obtemos:
Logo
Passo 4
Em seguida, tratamos o termo
.
Fazemos o palpite de grau 1:
Derivando e somando:
Queremos isso igual a
. Igualando coeficientes:
Para
:
⇒
.
Para
:
⇒
.
Para
:
⇒
.
Para
:
⇒
.
Logo
Passo 5
A solução particular completa é
Portanto, a solução geral é a soma de
e
.