Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais, usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
y^prime prime+y=3 sen(2 x)+x cos (2 x)

Passo 1

Temos a equação diferencial linear de segunda ordem a coeficientes constantes
Conteúdo: método dos coeficientes a determinar para resolver
Enunciado resumido: achar a solução geral de
y'' + y = 3sin(2x) + xcos(2x)

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea y''+y=0.
A equação característica é
r^2 + 1 = 0
cuja raízes são r = pm i. Logo a solução homogênea é
yh = C1cos(x) + C2sin(x)

Passo 3

Agora buscamos uma particular para o termo 3sin(2x).
Como pm2i não são raízes da característica, fazemos o palpite
yp1 = acos(2x) + bsin(2x)
Calculando:
y'p1 = -2asin(2x) + 2bcos(2x),
y''p1 = -4acos(2x) -4bsin(2x)
Substituindo em y''+y:
y''p1+yp1 = (-4a+a)cos(2x) + (-4b+b)sin(2x) = -3acos(2x) -3bsin(2x)
Igualando a 3sin(2x) obtemos:
-3a = 0, -3b = 3\
a=0, b=-1
Logo
yp1 = -sin(2x)

Passo 4

Em seguida, tratamos o termo xcos(2x).
Fazemos o palpite de grau 1:
yp2 = (Ax+B)cos(2x) + (Cx+D)sin(2x)
Derivando e somando:
y''p2+yp2 = (-3A x + 4C -3B)cos(2x) + (-3C x -4A -3D)sin(2x)
Queremos isso igual a xcos(2x)+0sin(2x). Igualando coeficientes:
Para xcos(2x): -3A = 1 A = -1/3.
Para xsin(2x): -3C = 0 C = 0.
Para cos(2x): 4C -3B = 0 B = 0.
Para sin(2x): -4A -3D = 0 D = 4/9.
Logo
yp2 = -tfrac13xcos(2x) + tfrac49sin(2x)

Passo 5

A solução particular completa é
yp = yp1 + yp2 = -sin(2x) - tfrac13xcos(2x) + tfrac49sin(2x) ;= -tfrac13xcos(2x) - tfrac59sin(2x)
Portanto, a solução geral é a soma de yh e yp.

Resposta

y(x) = C1cos(x) + C2sin(x) - tfrac13xcos(2x) - tfrac59sin(2x), C1,C2inR

Exercícios relacionados