Derive as funções a seguir:
f(t)=t(ln (t))^2

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(t)=tl(ln(t)r)^2,
portanto vamos usar a regra do produto (pois é um produto entre t e (ln(t))^2) e a regra da cadeia (para derivar (ln(t))^2). Note que o domínio é t>0.

Passo 2

Aplicando a regra do produto a f(t)=tcdot(ln(t))^2, temos
f'(t)=ddt[t]cdot(ln(t))^2 ;+; tcdotddtl[(ln(t))^2r]
Como ddt[t]=1, isso vira
f'(t) = (ln(t))^2 + tcdotddtl[(ln(t))^2r]

Passo 3

Para derivar (ln(t))^2 usamos a regra da cadeia:
função interna u=ln(t) e externa u^2. Assim,
ddtl[(ln(t))^2r] =2,ucdotdudt =2,ln(t)cdot1t =2,ln(t)t

Passo 4

Substituindo essa derivada em f'(t):
f'(t) = (ln(t))^2 + tcdot2,ln(t)t = (ln(t))^2 + 2,ln(t)
Fatorando ln(t), também podemos escrever
f'(t)=ln(t),l(ln(t)+2r)

Resposta

f'(t) = (ln(t))^2 + 2,ln(t)

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