Escolher um item. Resolva a equação diferencial:
x y^4 d x+(y^2+2) e^-3 x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x,y^4,dx + l(y^2+2r)e^-3x,dy = 0
O conteúdo aqui é reconhecer que essa ODE pode ser reescrita como uma equação separável em y e x.

Passo 2

Passamos para a forma dy/dx. Dividindo toda a equação por dx e por (y^2+2)e^-3x (assumindo y^2+2neq0), obtemos
dydx = -x,y^4(y^2+2)e^-3x = -,x,e^3x,y^4y^2+2

Passo 3

Agora separamos as variáveis, isto é, colocamos todos os termos em y com dy e todos os termos em x com dx:
y^2+2y^4,dy = -,x,e^3x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral y^2+2y^4,dy ;=; integral -,x,e^3x,dx

Passo 5

Calculamos cada integral.
No lado esquerdo,
y^2+2y^4 = y^-2 + 2,y^-4,
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integral l(y^-2+2,y^-4r),dy = integral y^-2,dy + 2integral y^-4,dy = -,y^-1 - tfrac23,y^-3
No lado direito, por partes ( u=-x, dv=e^3xdx):
integral -,x,e^3x,dx = -x,e^3x3 + e^3x9 + C

Passo 6

Igualando as duas integrais e agrupando a constante, temos
-,1y - 23,y^3 = -x,e^3x3 + e^3x9 + C
Multiplicando por -1 e reorganizando, uma forma conveniente da solução implícita é
1y + 23,y^3 = x,e^3x3 - e^3x9 + C',
onde C'=-C é a constante geral de integração.

Resposta

1y + 23,y^3 = x,e^3x3 - e^3x9 + C

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