Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada
l S=(u, v) mid 0 <= u <= 1, u <= v <= 1 x=u^2, y=v

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente ache a imagem do conjunto
S=(u,v)mid 0<= u<=1,;u<= v<=1
quando usamos a transformação
x = u^2, y = v
O assunto aqui é “imagem de conjunto por transformação” e vamos precisar traduzir as desigualdades de u,v em desigualdades de x,y.

Passo 2

Vamos anotar as condições em S:
  1. 0 <= u <= 1,
  2. u <= v <= 1.
Como x = u^2 e estamos em 0<= u<=1, a função umapsto u^2 é monótona crescente nesse intervalo. Isso significa que podemos inverter sem virar bagunça:
u = raizx, 0<= x<=1

Passo 3

Já que y = v, a desigualdade u <= v <= 1 vira
raizx <= y <= 1
E de 0<= u<=1 tiramos
0 <= x <= 1

Passo 4

Juntando tudo, na região (x,y) a gente tem:
0 <= x <= 1, raizx <= y <= 1

Resposta

A imagem de S é
(x,y)mid 0 <= x <= 1,;raizx <= y <= 1

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