Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: a primeira derivada
e a segunda derivada
.
Informações relevantes que já temos: o denominador não pode ser zero, logo . Não há outras condições adicionais no enunciado.
Informações relevantes que já temos: o denominador não pode ser zero, logo
Passo 2
Qual método usar? Aqui temos uma função racional (uma divisão de duas funções). A forma mais direta e segura é aplicar a regra do quociente (quotient rule). Vou relembrar essa regra de forma bem clara.
Regra do quociente (fórmula): se uma função é dada por
onde
e
são diferenciáveis e
, então
Explicando:
é a derivada da parte de cima,
é a derivada da parte de baixo. O numerador combina essas derivadas como na fórmula e o denominador é o quadrado de
. É uma regra direta; a maior parte do trabalho é fazer contas e simplificar.
Passo 3
Identificando
e
para a nossa função:
Calculemos
e
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Agora simplificar o numerador passo a passo:
então
Fatorando
:
Substituindo no quociente:
Passo 5
Podemos, se preferir, apresentar
em outra forma equivalente (faça isso na prova se quiser simplificar): multiplicando o
por
já é uma forma simples. Observação sobre domínio: essa expressão vale para todo
tal que
, isto é
.
Passo 6
Agora vamos à segunda derivada
. Temos
como uma nova função racional:
Para
aplicamos novamente a regra do quociente:
Calculemos
e
.
Passo 7
Derivando
:
Derivando
. Usamos a regra da cadeia: se
então
. Aqui
tem
. Assim:
Passo 8
Agora calculemos o numerador
passo a passo.
Primeiro
Primeiro
Segundo
Subtraindo,
Fator comum
(porque
):
Passo 9
Calculemos a expressão dentro do parêntese:
Expandindo:
Subtraindo:
Portanto o termo dentro do parêntese é simplesmente
. Isso simplifica muito o numerador:
Passo 10
Agora o denominador de
é
. Assim
Esse é o resultado final para a segunda derivada (novamente válido para
).