Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
f(x)=\frac{x^{2}}{1+2 x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}}{1+2x}
e pede duas coisas: a primeira derivada f'(x) e a segunda derivada f''(x).
Informações relevantes que já temos: o denominador não pode ser zero, logo x\neq -\tfrac{1}{2}. Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Qual método usar? Aqui temos uma função racional (uma divisão de duas funções). A forma mais direta e segura é aplicar a regra do quociente (quotient rule). Vou relembrar essa regra de forma bem clara.
Regra do quociente (fórmula): se uma função é dada por
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
onde u e v são diferenciáveis e v(x)\neq 0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Explicando: u'(x) é a derivada da parte de cima, v'(x) é a derivada da parte de baixo. O numerador combina essas derivadas como na fórmula e o denominador é o quadrado de v(x). É uma regra direta; a maior parte do trabalho é fazer contas e simplificar.

Passo 3

Identificando u(x) e v(x) para a nossa função:
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=1+2x.
Calculemos u'(x) e v'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})=2x,
v'(x)=\frac{d}{dx}(1+2x)=2.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(2x)(1+2x)-x^{2}\cdot 2}{(1+2x)^{2}}.
Agora simplificar o numerador passo a passo:
(2x)(1+2x)=2x+4x^{2},
x^{2}\cdot 2=2x^{2},
então
(2x)(1+2x)-x^{2}\cdot 2=(2x+4x^{2})-2x^{2}=2x+2x^{2}.
Fatorando 2x+2x^{2}:
2x+2x^{2}=2x(1+x).
Substituindo no quociente:
f'(x)=\frac{2x(1+x)}{(1+2x)^{2}}.

Passo 5

Podemos, se preferir, apresentar f'(x) em outra forma equivalente (faça isso na prova se quiser simplificar): multiplicando o 2 por x(x+1) já é uma forma simples. Observação sobre domínio: essa expressão vale para todo x tal que 1+2x\neq 0, isto é x\neq -\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Agora vamos à segunda derivada f''(x). Temos f'(x) como uma nova função racional:
f'(x)=\frac{N(x)}{D(x)},\quad\text{onde}\quad N(x)=2x(1+x)=2x^{2}+2x,\quad D(x)=(1+2x)^{2}.
Para f''(x) aplicamos novamente a regra do quociente:
f''(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Calculemos N'(x) e D'(x).

Passo 7

Derivando N(x):
N(x)=2x^{2}+2x\quad\Rightarrow\quad N'(x)=4x+2.
Derivando D(x)=(1+2x)^{2}. Usamos a regra da cadeia: se D(x)=(g(x))^{2} então D'(x)=2g(x)\,g'(x). Aqui g(x)=1+2x tem g'(x)=2. Assim:
D'(x)=2(1+2x)\cdot 2=4(1+2x).

Passo 8

Agora calculemos o numerador N'(x)D(x)-N(x)D'(x) passo a passo.
Primeiro
N'(x)D(x)=(4x+2)(1+2x)^{2}.
Segundo
N(x)D'(x)=(2x^{2}+2x)\cdot 4(1+2x)=8x(x+1)(1+2x).
Subtraindo,
N'(x)D(x)-N(x)D'(x)=(4x+2)(1+2x)^{2}-8x(x+1)(1+2x).
Fator comum 2(1+2x) (porque 4x+2=2(2x+1)=2(1+2x)):
(4x+2)(1+2x)^{2}-8x(x+1)(1+2x)=2(1+2x)\big((1+2x)^{2}-4x(x+1)\big).

Passo 9

Calculemos a expressão dentro do parêntese:
(1+2x)^{2}-4x(x+1).
Expandindo:
(1+2x)^{2}=1+4x+4x^{2},
4x(x+1)=4x^{2}+4x.
Subtraindo:
1+4x+4x^{2}-(4x^{2}+4x)=1.
Portanto o termo dentro do parêntese é simplesmente 1. Isso simplifica muito o numerador:
N'(x)D(x)-N(x)D'(x)=2(1+2x)\cdot 1=2(1+2x).

Passo 10

Agora o denominador de f''(x) é [D(x)]^{2}=( (1+2x)^{2} )^{2}=(1+2x)^{4}. Assim
f''(x)=\frac{2(1+2x)}{(1+2x)^{4}}=\frac{2}{(1+2x)^{3}}.
Esse é o resultado final para a segunda derivada (novamente válido para x\neq -\tfrac{1}{2}).

Resposta

f'(x)=\dfrac{2x(1+x)}{(1+2x)^{2}}
f''(x)=\dfrac{2}{(1+2x)^{3}}

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