Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
f(x)=x^{5 / 2} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claramente:
  • Calcular a primeira derivada de f(x)=x^{5/2} e^{x}.
  • Calcular a segunda derivada de f(x)=x^{5/2} e^{x}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{5/2} e^{x}.

Passo 2

Antes de começar, vamos revisar as regras de derivação que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Regra da potência (power rule): para n constante, \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},onde x é a variável e n é o expoente.
  • Derivada do exponencial: a derivada de e^{x} é \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}.
  • Regra do produto (product rule): se u(x) e v(x) são funções, \frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),onde u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular a derivada de u(x)=x^{5/2} usando a regra da potência. Aqui n=\tfrac{5}{2}, logo
u'(x)=\frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1}=\frac{5}{2}x^{3/2}.
Expliquei: substitui-se n por \tfrac{5}{2} e subtrai 1 do expoente.

Passo 4

Aplicar a regra do produto para f(x)=u(x)v(x) com u(x)=x^{5/2} e v(x)=e^{x}.
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u'(x)=\tfrac{5}{2}x^{3/2}, u(x)=x^{5/2} e v'(x)=e^{x}, obtemos
f'(x)=\frac{5}{2}x^{3/2}e^{x}+x^{5/2}e^{x}.

Passo 5

Simplificar/fatorar a expressão de f'(x) para ficar mais elegante e facilitar a segunda derivada.
Fatorando e^{x}x^{3/2} (fator comum),
f'(x)=e^{x}x^{3/2}\left(\frac{5}{2}+x\right).
Isso é prático porque agora f'(x) está como produto de e^{x} por uma função mais simples.

Passo 6

Para calcular f''(x) escolho derivar a forma fatorada
f'(x)=e^{x}g(x),\quad\text{onde}\quad g(x)=x^{3/2}\left(x+\frac{5}{2}\right).
Usei essa forma porque a derivada de e^{x}g(x) é simples pela regra do produto: (e^{x}g(x))' = e^{x}g(x)+e^{x}g'(x)=e^{x}\bigl(g(x)+g'(x)\bigr).

Passo 7

Calcular g(x) e g'(x). Primeiro expandir g(x) ou derivar termo a termo:
g(x)=x^{3/2}\left(x+\frac{5}{2}\right)=x^{5/2}+\frac{5}{2}x^{3/2}.
Derivando termo a termo (usando a regra da potência):
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{5/2}\bigr)=\dfrac{5}{2}x^{3/2},
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(\dfrac{5}{2}x^{3/2}\bigr)=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{3}{2}x^{1/2}=\dfrac{15}{4}x^{1/2}.
Portanto
g'(x)=\frac{5}{2}x^{3/2}+\frac{15}{4}x^{1/2}.

Passo 8

Agora usar a fórmula para f''(x):
f''(x)=e^{x}\bigl(g(x)+g'(x)\bigr).
Somando g(x) e g'(x):
g(x)+g'(x)=\bigl(x^{5/2}+\tfrac{5}{2}x^{3/2}\bigr)+\bigl(\tfrac{5}{2}x^{3/2}+\tfrac{15}{4}x^{1/2}\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
g(x)+g'(x)=x^{5/2}+\bigl(\tfrac{5}{2}+\tfrac{5}{2}\bigr)x^{3/2}+\tfrac{15}{4}x^{1/2} = x^{5/2}+5x^{3/2}+\tfrac{15}{4}x^{1/2}.

Passo 9

Portanto a segunda derivada fica
f''(x)=e^{x}\Bigl(x^{5/2}+5x^{3/2}+\tfrac{15}{4}x^{1/2}\Bigr).
Se preferir colocar um fator comum x^{1/2},
f''(x)=e^{x}x^{1/2}\Bigl(x^{2}+5x+\tfrac{15}{4}\Bigr).

Resposta

f'(x)=e^{x}x^{3/2}\Bigl(x+\tfrac{5}{2}\Bigr)
f''(x)=e^{x}\Bigl(x^{5/2}+5x^{3/2}+\tfrac{15}{4}x^{1/2}\Bigr)

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