Encontre a primeira derivada e a segunda derivada das funções a seguir
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claramente:
- Calcular a primeira derivada de
. - Calcular a segunda derivada de
.
Informações dadas:
- A função é
.
Passo 2
Antes de começar, vamos revisar as regras de derivação que vamos usar (explicando cada símbolo):
- Regra da potência (power rule): para
constante, onde é a variável e é o expoente. - Derivada do exponencial: a derivada de
é - Regra do produto (product rule): se
e são funções, onde é a derivada de e é a derivada de .
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calcular a derivada de
usando a regra da potência. Aqui
, logo
Expliquei: substitui-se
por
e subtrai 1 do expoente.
Passo 4
Aplicar a regra do produto para
com
e
.
Pela regra do produto,
Pela regra do produto,
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 5
Simplificar/fatorar a expressão de
para ficar mais elegante e facilitar a segunda derivada.
Fatorando (fator comum),
Fatorando
Isso é prático porque agora
está como produto de
por uma função mais simples.
Passo 6
Para calcular
escolho derivar a forma fatorada
Usei essa forma porque a derivada de
é simples pela regra do produto:
.
Passo 7
Calcular
e
. Primeiro expandir
ou derivar termo a termo:
Derivando termo a termo (usando a regra da potência):
-
, -
.
Portanto
Passo 8
Agora usar a fórmula para
:
Somando
e
:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 9
Portanto a segunda derivada fica
Se preferir colocar um fator comum
,