Derive as funções a seguir:
(a) f(x)=x^2-6 x+9. Resp: f^prime(x)=2 x-6

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem a função $ f(x) = x^{2} - 6x + 9 $ e o objetivo é encontrar a sua derivada, que é basicamente descobrir como essa função muda em relação a $ x $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivação de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, é bom lembrar o que significa derivar uma função. Derivar é encontrar a taxa de variação da função, ou seja, como ela está subindo ou descendo em cada ponto. Para funções polinomiais, que são somas de termos do tipo $ ax^{n} $, usamos a regra do poder para encontrar a derivada.

Passo 3

A regra do poder diz que, se você tem um termo $ ax^{n} $, a derivada desse termo é $ a $ vezes $ n $ multiplicado por $ x $ elevado a $ n-1 $, ou seja:
ax^n
Vamos aplicar essa regra a cada termo da nossa função.

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo: $ x^{2} $
    • Aplicando a regra do poder:
    x^2
  2. Segundo termo: $ -6x $
    • Aqui, o expoente de $ x $ é 1:
    ddx(x^2) = 2 cdot x^2-1 = 2x
  3. Terceiro termo: $ +9 $
    • Constantes têm derivada zero porque elas não mudam com $ x $:
    -6x

Passo 5

Agora, vamos somar as derivadas de cada termo para encontrar a derivada da função completa:
f'(x) = 2x - 6 + 0
Simplificando:
f'(x) = 2x - 6

Resposta

Então, a derivada da função $ f(x) = x^{2} - 6x + 9 $ é:
f(x) = x^2 - 6x + 9

Exercícios relacionados