Resolva o seguinte PVI
l d yd x=-2 x y+x y(0)=3

Passo 1

Então, a gente tem um problema de valor inicial (PVI) que diz o seguinte:
l dydx = -2x y + x y(0) = 3
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão de uma equação linear:
dydx + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
dydx + 2x y = x
Então, identificamos que:
P(x) = 2x e Q(x) = x

Passo 3

Agora, para encontrar o fator integrante, usamos a fórmula:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo mu(x) = e^integral 2x , dx = e^x^2 :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante e^x^2 dydx + 2x e^x^2 y = x e^x^2 :
ddx ( y e^x^2 ) = x e^x^2
Isso pode ser reescrito como:
Isso acontece porque a esquerda da equação agora é a derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a integral ddx ( y e^x^2 ) dx = integral x e^x^2 dx :
y e^x^2 = integral x e^x^2 dx + C
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver a integral no lado direito, fazemos uma substituição:
Seja integral x e^x^2 dx = 12 integral e^u du = 12 e^u + C = 12 e^x^2 + C , então , ou seja, .
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
y e^x^2 = 12 e^x^2 + C
Agora, isolamos y = 12 + C e^-x^2 :

Passo 8

Usamos a condição inicial 3 = 12 + C e^-(0)^2 3 = 12 + C C = 3 - 12 = 52 para encontrar a constante :

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = 12 + 52 e^-x^2

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