Resolva o seguinte PVI
Passo 1
Então, a gente tem um problema de valor inicial (PVI) que diz o seguinte:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão de uma equação linear:
Comparando com a nossa equação:
Então, identificamos que:
Passo 3
Agora, para encontrar o fator integrante, usamos a fórmula:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso pode ser reescrito como:
Isso acontece porque a esquerda da equação agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver a integral no lado direito, fazemos uma substituição:
Seja , então
, ou seja,
.
Então:
Seja
Então:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
:
Passo 8
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução do PVI é: