Derive as funções a seguir:
y=raizx+cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = raizx + cos(x)
O conteúdo principal aqui é regra da cadeia, pois temos uma função composta: a raiz quadrada aplicada em x+cos(x). Para resolver, vamos:
  1. identificar a função externa e a interna;
  2. aplicar a regra da cadeia;
  3. derivar a parte interna;
  4. montar o resultado final.

Passo 2

Reescrevemos a função de modo a deixar explícito o expoente:
y = (x + cos(x))^tfrac12
Aqui a função externa é
f(u) = u^tfrac12,
e a função interna é
g(x) = x + cos(x)
Pela regra da cadeia,
y' = f'(g(x)) cdot g'(x)

Passo 3

Calculamos f'(u) e g'(x).
Para f(u)=u^tfrac12, temos
f'(u) = tfrac12,u^-tfrac12
Para g(x)=x+cos(x), temos
g'(x) = ddx(x) + ddx(cos(x)) = 1 - sin(x)

Passo 4

Substituindo em y' = f'(g(x)),g'(x), obtemos
y' = tfrac12,(x + cos(x))^-tfrac12 ;cdot;(1 - sin(x))
Podemos reescrever num único quociente:
y' = 1 - sin(x)2,raizx + cos(x)

Resposta

y' = 1 - sin(x)2,raizx + cos(x)

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