Seja x=0.9999999 ldots, some uma série geométrica para encontrar o valor de x.
Temos que
x & =0.9999999 cdots=910+910^2+910^3+cdots & =910(1+110+110^2+110^3+cdots)=910 sum1^infty(110)^n-1 & =910(11-110)=1

Passo 1

O enunciado define x=0.999ldots e pede para escrever essa dízima como soma de uma série geométrica e, em seguida, usar a fórmula de soma de série geométrica infinita para encontrar o valor de x.

Passo 2

Escrevemos x como soma dos termos decimais:
x = 0,9 + 0,09 + 0,009 + cdots
Em forma de frações, isso fica
x = 910 + 910^2 + 910^3 + cdots

Passo 3

Reconhecemos que se trata de uma série geométrica infinita de primeiro termo
a = 910
e razão
r = 110,
e como lvert rrvert<1, podemos aplicar a fórmula
sumn=0^inftyar^n = a1-r

Passo 4

Para ajustar nosso somatório à forma padrão, note que
910 + 910^2 + cdots = 910sumn=0^inftyl(110r)^n = 9101 - 110 = 910910 = 1

Resposta

x = 1

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