Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
u=e^prime theta sen theta ; partial^3 upartial r^2 partial theta

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
u(r,theta)=e^rthetasintheta
e pede a derivada mista de terceira ordem
partial^3upartial r^2partialtheta
O conteúdo envolve derivadas parciais, aplicação das regras do produto e da cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada parcial de u em relação a theta. Aplicando a regra do produto em
u=e^rthetacdotsintheta, temos
partial upartial theta =partialpartial theta(e^rtheta)sintheta +e^rthetapartialpartial theta(sintheta) =r,e^rthetasintheta+e^rthetacostheta =e^rtheta(rsintheta+costheta)

Passo 3

Agora derivamos esse resultado em relação a r uma vez:
partialpartial rl(e^rtheta(rsintheta+costheta)r) =theta,e^rtheta(rsintheta+costheta) +e^rthetasintheta

Passo 4

Por fim, derivamos novamente em relação a r para obter o segundo ,r-derivado do passo anterior:
partial^2partial r^2partial upartial theta =partialpartial rl[theta,e^rtheta(rsintheta+costheta) +e^rthetasinthetar]
Derivando termo a termo:
  • Do primeiro termo surge
    thetal(theta,e^rtheta(rsintheta+costheta) +e^rthetasinthetar).
  • Do segundo termo surge
    theta,e^rthetasintheta.
    Somando tudo, obtemos
theta^2e^rtheta(rsintheta+costheta) +2theta,e^rthetasintheta

Resposta

partial^3upartial r^2partialtheta =e^rthetal[theta^2l(rsintheta+costhetar) +2thetasinthetar]

Exercícios relacionados