Encontre a equação da reta que passa pelo ponto dado e é perpendicular à reta dada.
Esboce o gráfico, indicando a reta original e a reta perpendicular no mesmo plano cartesiano.
Passa pelo ponto F=(12,-34) e é perpendicular à reta 3 x+2 y=1

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa por F=l(tfrac12,-tfrac34r) e é perpendicular à reta 3x+2y=1. O conteúdo envolvido é geometria analítica: vamos usar a fórmula do coeficiente angular (declividade) de retas perpendiculares e a fórmula ponto-declive.

Passo 2

Primeiro, achamos a declividade mrm orig da reta dada. Escrevendo
3x+2y=1
em forma declive-intercepto:
2y=-3x+1
y=-32,x+12,
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mrm orig=-32

Passo 3

Como retas perpendiculares têm coeficientes angulares negativos recíprocos, a declividade da reta buscada é
mperp=-1mrm orig=-1-32=23

Passo 4

Aplicamos a fórmula ponto-declive
y-y0 = mperp,(x-x0)
com (x0,y0)=l(tfrac12,-tfrac34r):
y + 34 =23l(x-12r)

Passo 5

Agora simplificamos para a forma mais comum. Expandindo:
y + 34 = 23,x - 13 Longrightarrow y = 23,x - 13 - 34 = 23,x - 1312
Multiplicando ambos os lados por 12 obtemos também a forma geral:
12y = 8x - 13 Longrightarrow 8x - 12y - 13 = 0

Passo 6

Esboço do gráfico:
Desenhe os eixos x e y. Na reta original 3x+2y=1 marque os interceptos l(tfrac13,0r) e l(0,tfrac12r). Depois marque o ponto F=(tfrac12,-tfrac34). A partir de F, trace a reta com declividade tfrac23 (suba 2 unidades para cada 3 na horizontal). Assim aparecem no mesmo plano a reta original e a reta perpendicular.

Resposta

A reta perpendicular que passa por F é
y = 23,x - 1312,
ou, em forma geral,
8x - 12y - 13 = 0

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