Derive implicitamente as funções a seguir com todos os detalhes…
\ln (x y) \cdot x^{3}+5 x y^{4}=1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
\ln(xy)\cdot x^{3} \;+\; 5\,x\,y^{4} \;=\; 1
e pede y' em função de x e y. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando regra do produto, regra da cadeia e a derivada de \ln.

Passo 2

Primeiro, anotemos a derivada de \ln(xy). Como \ln(xy)=\ln x+\ln y, temos
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(xy)\bigr] =\frac{d}{dx}[\ln x]+\frac{d}{dx}[\ln y] =\frac{1}{x}+\frac{y'}{y}.

Passo 3

Agora diferenciamos o primeiro termo \ln(xy)\cdot x^{3} por regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(xy)\cdot x^{3}\bigr] =x^{3}\cdot\frac{d}{dx}[\ln(xy)] +\ln(xy)\cdot\frac{d}{dx}[x^{3}].
Substituindo
=x^{3}\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{y'}{y}\Bigr)+\ln(xy)\cdot3x^{2} =x^{2}+x^{3}\,\frac{y'}{y}+3x^{2}\ln(xy).

Passo 4

Em seguida, diferenciamos 5\,x\,y^{4} também por produto:
\frac{d}{dx}[5\,x\,y^{4}] =5\cdot1\cdot y^{4}+5x\cdot4y^{3}y' =5y^{4}+20x\,y^{3}y'.

Passo 5

Somando as derivadas e igualando a zero (pois a derivada de 1 é 0):
\bigl(x^{2}+x^{3}\tfrac{y'}{y}+3x^{2}\ln(xy)\bigr) +\bigl(5y^{4}+20x\,y^{3}y'\bigr)=0.
Agrupando os termos com y':
x^{3}\frac{y'}{y}+20x\,y^{3}y' +\bigl(x^{2}+3x^{2}\ln(xy)+5y^{4}\bigr)=0.

Passo 6

Isolando y':
\Bigl(\frac{x^{3}}{y}+20x\,y^{3}\Bigr)\,y' = -\bigl(x^{2}+3x^{2}\ln(xy)+5y^{4}\bigr)
y' = -\frac{x^{2}(1+3\ln(xy))+5y^{4}}{\frac{x^{3}}{y}+20x\,y^{3}} = -\frac{y\bigl[x^{2}(1+3\ln(xy))+5y^{4}\bigr]}{x\bigl(x^{2}+20y^{4}\bigr)}.

Resposta

y' = -\,\frac{y\bigl[x^{2}\bigl(1+3\ln(xy)\bigr)+5y^{4}\bigr]}{x\bigl(x^{2}+20y^{4}\bigr)}.

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