Derive implicitamente as funções a seguir com todos os detalhes…
e^{2 x+2 y} \cdot \cos (2 y+x)+2 x y=0

Passo 1

O enunciado pede para derivar implicitamente a equação
e^{2x+2y}\,\cos(2y+x)+2xy=0
ou seja, encontrar \displaystyle \frac{dy}{dx} em termos de x e y. Vamos usar regra do produto, cadeia e coletar todos os termos com y'=\frac{dy}{dx}.

Passo 2

Diferenciando o primeiro termo e^{2x+2y}\,\cos(2y+x) pela regra do produto:
seja
u=e^{2x+2y},\quad v=\cos(2y+x),
então
u' = e^{2x+2y}\,(2 + 2y'),\quad v' = -\sin(2y+x)\,(2y' + 1).
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x+2y}\cos(2y+x)\bigr) = u'\,v + u\,v' = e^{2x+2y}(2+2y')\cos(2y+x) - e^{2x+2y}\sin(2y+x)(2y'+1).

Passo 3

Diferenciando o segundo termo 2xy por regra do produto também:
\frac{d}{dx}(2xy) = 2y + 2x\,y'.

Passo 4

Somando tudo e igualando a zero:
e^{2x+2y}(2+2y')\cos(2y+x) - e^{2x+2y}\sin(2y+x)(2y'+1) + 2y + 2x\,y' = 0.
Agora expandimos e agrupamos os termos que contêm y' e os que não contêm:
\bigl[2e^{2x+2y}\cos(2y+x)-e^{2x+2y}\sin(2y+x)+2y\bigr] + y'\bigl[2e^{2x+2y}\cos(2y+x)-2e^{2x+2y}\sin(2y+x)+2x\bigr] =0.

Passo 5

Isolando y':
y'\bigl[2e^{2x+2y}(\cos(2y+x)-\sin(2y+x))+2x\bigr] =-\bigl[2e^{2x+2y}\cos(2y+x)-e^{2x+2y}\sin(2y+x)+2y\bigr].
Portanto,
y' =\frac{-\bigl[2e^{2x+2y}\cos(2y+x)-e^{2x+2y}\sin(2y+x)+2y\bigr]} {2e^{2x+2y}\bigl(\cos(2y+x)-\sin(2y+x)\bigr)+2x}.

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{-\bigl[2e^{2x+2y}\cos(2y+x)-e^{2x+2y}\sin(2y+x)+2y\bigr]} {2e^{2x+2y}\bigl(\cos(2y+x)-\sin(2y+x)\bigr)+2x}.

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