Derive as funções utilizando as regras de derivação:
f(x)=2 cos (x^3)e^2 x

Passo 1

Neste exercício queremos encontrar a derivada da função f(x)=2cos(x^3)e^2x. O conteúdo envolve derivação de quociente (ou produto) e aplicação da regra da cadeia para cos(x^3) e exponencial e^2x.

Passo 2

Para facilitar, reescrevemos f(x) como produto:
f(x)=2cos(x^3)e^-2x
Assim identificamos u(x)=2cos(x^3) e v(x)=e^-2x.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v: usando regra da cadeia em u, temos
u'(x)=2cdot(-sin(x^3))cdot3x^2=-6x^2sin(x^3)
E em v,
v'(x)=-2e^-2x
Agora aplicamos a regra do produto: f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 4

Substituindo u, u', v, v' e simplificando, obtemos
f'(x)=(-6x^2sin(x^3))e^-2x+2cos(x^3)(-2e^-2x)=e^-2x(-6x^2sin(x^3)-4cos(x^3))
Podemos expressar de volta como quociente se preferir.

Resposta

f'(x)=-6x^2sin(x^3)-4cos(x^3)e^2x

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