Derive:
(a) g(x)=integralx^1 e^t^2 d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada da função . Isso envolve o cálculo de derivadas e integrais, mais especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar uma função que está definida como uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se temos uma função definida por uma integral, como , então a derivada de em relação a é simplesmente .
No nosso caso, a função está definida como . Note que o limite inferior é e o limite superior é uma constante (1).

Passo 3

O Teorema Fundamental do Cálculo também nos permite tratar casos onde o limite inferior é uma função de ddx ( integralu(x)^v(x) f(t) , dt ) = f(v(x)) cdot v'(x) - f(u(x)) cdot u'(x) . A regra geral para derivadas de integrais com limites variáveis é:
Aqui, e .

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso caso:
g'(x) = e^v(x)^2 cdot v'(x) - e^u(x)^2 cdot u'(x)
Como g'(x) = e^1^2 cdot 0 - e^x^2 cdot 1 = -e^x^2 , então . E , então . Substituindo esses valores:

Resposta

A derivada de é .

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