Determine o domínio e uma expressão para a inversa de
passando pelo ponto
:
(f)
(f)
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre funções e suas inversas. A função dada é
e queremos encontrar:
- O domínio dessa função.
- Uma expressão para a função inversa de
que passa pelo ponto .
Para isso, vamos precisar entender conceitos de domínio de uma função, função inversa e como determinar a inversa de uma função polinomial.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Como
é um polinômio, não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos. Portanto, o domínio de
é todos os números reais, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função inversa de
. Para uma função ter uma inversa, ela deve ser bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora). No entanto, a função
não é injetora em todo o seu domínio porque não passa no teste da linha horizontal (há valores diferentes de
que dão o mesmo
).
Para resolver isso, precisamos restringir o domínio de
para tornar a função injetora. Dado que a inversa passa pelo ponto
, sabemos que
. Vamos considerar um intervalo onde
seja estritamente crescente ou decrescente.
Observando o gráfico de
, vemos que a função é crescente para
e decrescente para
. Para simplificar, vamos restringir o domínio a
, onde a função é crescente.
Passo 4
Com o domínio restrito a
, a função
é agora injetora e, portanto, tem uma inversa. Para encontrar a expressão da inversa
, seguimos os seguintes passos:
- Substituir
por :
- Trocar
e para encontrar a inversa:
- Resolver para
em termos de :
Esta equação é cúbica e, em geral, resolver parapode ser complicado. No entanto, sabemos que a inversa passa pelo ponto , ou seja, .
Portanto, a expressão exata da inversa pode não ser simples, mas podemos defini-la implicitamente ou usar métodos numéricos para encontrar valores específicos.
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais (
). A função inversa de
, restrita a
, é dada implicitamente por
onde
e passa pelo ponto
.