Determine o domínio e uma expressão para a inversa de f passando pelo ponto P :
(f) f(x) = x^3 - x, P = (0, 1)

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre funções e suas inversas. A função dada é e queremos encontrar:
  1. O domínio dessa função.
  2. Uma expressão para a função inversa de que passa pelo ponto .
Para isso, vamos precisar entender conceitos de domínio de uma função, função inversa e como determinar a inversa de uma função polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Como é um polinômio, não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos. Portanto, o domínio de é todos os números reais, ou seja:
í

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função inversa de . Para uma função ter uma inversa, ela deve ser bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora). No entanto, a função não é injetora em todo o seu domínio porque não passa no teste da linha horizontal (há valores diferentes de que dão o mesmo ).
Para resolver isso, precisamos restringir o domínio de para tornar a função injetora. Dado que a inversa passa pelo ponto , sabemos que . Vamos considerar um intervalo onde seja estritamente crescente ou decrescente.
Observando o gráfico de , vemos que a função é crescente para e decrescente para . Para simplificar, vamos restringir o domínio a , onde a função é crescente.

Passo 4

Com o domínio restrito a , a função é agora injetora e, portanto, tem uma inversa. Para encontrar a expressão da inversa , seguimos os seguintes passos:
  1. Substituir por :
  1. Trocar e para encontrar a inversa:
  1. Resolver para em termos de :
    Esta equação é cúbica e, em geral, resolver para pode ser complicado. No entanto, sabemos que a inversa passa pelo ponto , ou seja, .
Portanto, a expressão exata da inversa pode não ser simples, mas podemos defini-la implicitamente ou usar métodos numéricos para encontrar valores específicos.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais ( ). A função inversa de , restrita a , é dada implicitamente por onde e passa pelo ponto .

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