A função dada é diferenciável em (0,0) ? Justifique:
(a) f(x, y) = { (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0,0); 0, se (x, y) = (0,0) }
(b) f(x, y) = { (x^2 * y) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }
© f(x, y) = { x^4 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta se as funções dadas são diferenciáveis em . O assunto aqui é diferenciabilidade de funções de várias variáveis, e vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável nesse ponto específico. Vamos analisar cada parte da questão para ver se a função se comporta de maneira suave naquele ponto.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a):
Para verificar se é diferenciável em , precisamos ver se ela é contínua nesse ponto e se existem derivadas parciais que se comportam bem.
Primeiro, vamos ver a continuidade. Calculamos o limite de quando se aproxima de .
Dependendo do caminho que escolhemos para aproximar , o limite pode variar. Por exemplo:
  • Se , então .
  • Se , então .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho, o limite geral não existe. Portanto, não é contínua em e, consequentemente, não é diferenciável nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b):
Primeiro, verificamos a continuidade:
Vamos usar coordenadas polares onde e :
Quando , todo o termo tende a 0, independentemente de . Então o limite é 0, que é igual ao valor da função em . Logo, é contínua em .
Agora, vamos verificar as derivadas parciais.
A derivada parcial em relação a em :
A derivada parcial em relação a em :
Agora, para a diferenciabilidade, precisamos que:
Substituindo os valores:
Usando coordenadas polares novamente:
O limite depende de , mas como está limitado, o limite é 0. Portanto, é diferenciável em .

Passo 4

Por fim, a parte ©:
Primeiro, verificamos a continuidade:
Usando coordenadas polares:
Quando , isso tende a 0, que é igual ao valor de em . Então, é contínua em .
Agora, vamos às derivadas parciais.
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Agora, para a diferenciabilidade:
Usando coordenadas polares:
Quando , isso tende a 0. Portanto, é diferenciável em .

Resposta

(a) Não é diferenciável em .
(b) É diferenciável em .
© É diferenciável em .

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