A função dada é diferenciável em
? Justifique:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta se as funções dadas são diferenciáveis em
. O assunto aqui é diferenciabilidade de funções de várias variáveis, e vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável nesse ponto específico. Vamos analisar cada parte da questão para ver se a função se comporta de maneira suave naquele ponto.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a):
Para verificar se
é diferenciável em
, precisamos ver se ela é contínua nesse ponto e se existem derivadas parciais que se comportam bem.
Primeiro, vamos ver a continuidade. Calculamos o limite de
quando
se aproxima de
.
Dependendo do caminho que escolhemos para aproximar
, o limite pode variar. Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho, o limite geral não existe. Portanto,
não é contínua em
e, consequentemente, não é diferenciável nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b):
Primeiro, verificamos a continuidade:
Vamos usar coordenadas polares onde
e
:
Quando
, todo o termo tende a 0, independentemente de
. Então o limite é 0, que é igual ao valor da função em
. Logo,
é contínua em
.
Agora, vamos verificar as derivadas parciais.
A derivada parcial em relação a
em
:
A derivada parcial em relação a
em
:
Agora, para a diferenciabilidade, precisamos que:
Substituindo os valores:
Usando coordenadas polares novamente:
O limite depende de
, mas como
está limitado, o limite é 0. Portanto,
é diferenciável em
.
Passo 4
Por fim, a parte ©:
Primeiro, verificamos a continuidade:
Usando coordenadas polares:
Quando
, isso tende a 0, que é igual ao valor de
em
. Então,
é contínua em
.
Agora, vamos às derivadas parciais.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Agora, para a diferenciabilidade:
Usando coordenadas polares:
Quando
, isso tende a 0. Portanto,
é diferenciável em
.
Resposta
(a) Não é diferenciável em
.
(b) É diferenciável em .
© É diferenciável em .
(b) É diferenciável em
© É diferenciável em