Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis càsas decimais.
integral0^1 / 2 tg^-1(x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida usando uma série de potências! O exercício pede para calcular a integral de tan^-1(x^2) de 0 até 1/2 com uma precisão de seis casas decimais. Para isso, vamos usar a série de potências da função arco-tangente e integrar termo a termo. Vamos precisar conhecer a expansão em série de tan^-1(x) e adaptar para tan^-1(x^2).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências para tan^-1(x). A série de Taylor de tan^-1(x) em torno de 0 é:
tan^-1(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1 = x - x^33 + x^55 - x^77 + cdots
Agora, queremos a série para tan^-1(x^2). Basta substituir x por x^2 na série acima:
tan^-1(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n (x^2)^2n+12n+1 = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+22n+1

Passo 3

Agora que temos a série de potências para tan^-1(x^2), vamos integrar termo a termo de 0 a 1/2:
integral0^1/2 tan^-1(x^2) , dx = integral0^1/2 sumn=0^infty (-1)^n x^4n+22n+1 , dx = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 integral0^1/2 x^4n+2 , dx
A integral de x^4n+2 é fácil de calcular:
integral x^4n+2 , dx = x^4n+34n+3
Então, avaliando de 0 a 1/2:
integral0^1/2 x^4n+2 , dx = (1/2)^4n+34n+3
Portanto, a série integrada fica:
sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)(4n+3) (12)^4n+3

Passo 4

Queremos aproximar essa série de forma que o erro seja menor que 0,0000005 (para garantir seis casas decimais corretas). Isso significa que devemos somar os termos até que o próximo termo da série seja menor que 0,0000005.
Vamos calcular os primeiros termos até que o valor absoluto do termo seja menor que 0,0000005.

Passo 5

Vamos calcular os termos da série:
Para n=0:
(-1)^0(2(0)+1)(4(0)+3) (12)^4(0)+3 = 11 cdot 3 cdot 18 = 124 approx 0,0416667
Para n=1:
(-1)^1(2(1)+1)(4(1)+3) (12)^4(1)+3 = -13 cdot 7 cdot 1128 = -12688 approx -0,0003720
Para n=2:
(-1)^2(2(2)+1)(4(2)+3) (12)^4(2)+3 = 15 cdot 11 cdot 12048 = 1112640 approx 0,0000089
O termo para n=2 já é menor que 0,0000005, então podemos parar por aqui. Somando os termos até n=1:
0,0416667 - 0,0003720 = 0,0412947

Resposta

A aproximação da integral integral0^1/2 tan^-1(x^2) , dx com precisão de seis casas decimais é aproximadamente 0,041295.

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