Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis càsas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida usando uma série de potências! O exercício pede para calcular a integral de
de 0 até 1/2 com uma precisão de seis casas decimais. Para isso, vamos usar a série de potências da função arco-tangente e integrar termo a termo. Vamos precisar conhecer a expansão em série de
e adaptar para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências para
. A série de Taylor de
em torno de 0 é:
Agora, queremos a série para
. Basta substituir
por
na série acima:
Passo 3
Agora que temos a série de potências para
, vamos integrar termo a termo de 0 a 1/2:
A integral de
é fácil de calcular:
Então, avaliando de 0 a 1/2:
Portanto, a série integrada fica:
Passo 4
Queremos aproximar essa série de forma que o erro seja menor que
(para garantir seis casas decimais corretas). Isso significa que devemos somar os termos até que o próximo termo da série seja menor que
.
Vamos calcular os primeiros termos até que o valor absoluto do termo seja menor que
.
Passo 5
Vamos calcular os termos da série:
Para
:
Para
:
Para
:
O termo para
já é menor que
, então podemos parar por aqui. Somando os termos até
:
Resposta
A aproximação da integral
com precisão de seis casas decimais é aproximadamente 0,041295.