Integre:
(e) integral x ln (x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, a gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que integral x cdot 2ln(x) , dx = 2integral x ln(x) , dx , então a integral fica:
Agora, vamos focar em resolver e depois multiplicar por 2 no final.

Passo 3

Para usar a integração por partes, precisamos escolher u = ln(x) e dv = x , dx e . A regra geral é escolher como a parte que se simplifica ao derivar. Aqui, vamos deixar:
Assim, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = 1x , dx (derivada de ln(x)) v = integral x , dx = x^22 e :
Agora temos tudo para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 5

A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x ln(x) , dx = ln(x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx = x^22 ln(x) - 12 integral x , dx = x^22 ln(x) - 12 cdot x^22 + C = x^22 ln(x) - x^24 + C
Lembrando que é a constante de integração.

Resposta

A integral 2( x^22 ln(x) - x^24 ) + C = x^2 ln(x) - x^22 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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