Integre as funções a seguir:
g(x)=raizx+1raizx no intervalo [1,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integração juntos! A gente precisa calcular a integral da função g(x) = raizx + 1raizx no intervalo de 1 a 2. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções que envolvem potências de x . Vamos precisar aplicar as regras básicas de integração, onde a gente integra cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função g(x) de uma forma que facilite a integração. Sabemos que raizx é o mesmo que x^1/2 e 1raizx é igual a x^-1/2 . Então, podemos escrever:
g(x) = x^1/2 + x^-1/2

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração para uma função da forma x^n é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra ao primeiro termo x^1/2 :
integral x^1/2 , dx = x^(1/2)+1(1/2)+1 = x^3/23/2 = 23 x^3/2

Passo 5

Fazendo o mesmo para o segundo termo x^-1/2 :
integral x^-1/2 , dx = x^(-1/2)+1(-1/2)+1 = x^1/21/2 = 2 x^1/2

Passo 6

Agora, vamos somar as integrais dos dois termos:
integral g(x) , dx = 23 x^3/2 + 2 x^1/2 + C
Como estamos calculando uma integral definida no intervalo de 1 a 2, podemos ignorar a constante C e avaliar a antiderivada nos limites.

Passo 7

Vamos avaliar a antiderivada em x = 2 e x = 1 :
Para x = 2 :
23 (2)^3/2 + 2 (2)^1/2
Sabendo que 2^1/2 = raiz2 e 2^3/2 = 2 raiz2 , temos:
23 cdot 2 raiz2 + 2 cdot raiz2 = 43 raiz2 + 2 raiz2 = ( 43 + 2 ) raiz2 = 103 raiz2
Para x = 1 :
23 (1)^3/2 + 2 (1)^1/2 = 23 cdot 1 + 2 cdot 1 = 23 + 2 = 83

Resposta

A integral de g(x) = raizx + 1raizx no intervalo de 1 a 2 é:
103 raiz2 - 83 = 10 raiz2 - 83

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