Derive implicitamente:
y^4+2 x y^2+x=1

Passo 1

O enunciado pede para obter dydx a partir da relação implícita
y^4+2xy^2+x=1
O conteúdo envolvido é derivação implícita, onde aplicamos a regra da cadeia sempre que derivamos algo em função de y e a regra do produto para termos como 2x,y^2.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
– De ;y^4; pela regra da cadeia vem
ddx(y^4)=4y^3,y'
– De ;2x,y^2; pela regra do produto ( ;u=2x,;v=y^2;) vem
ddx(2x,y^2)=2,y^2 + 2xcdot 2y,y' =2y^2+4xy,y'
– De ;x; vem 1, e de 1 vem 0.
Somando tudo e igualando a zero:
4y^3y' + l(2y^2+4xy,y'r) + 1 = 0

Passo 3

Agrupando os termos que contêm y' e os que não contêm:
(4y^3 + 4xy),y' + 2y^2 + 1 = 0

Passo 4

Isolando y':
(4y^3 + 4xy),y' = -,(2y^2 + 1) Longrightarrow y' = -,2y^2 + 14y^3 + 4xy

Passo 5

Podemos ainda fatorar 4y no denominador:
y' = -,2y^2 + 14y,(y^2 + x)

Resposta

boxedy' = -,2y^2 + 14y,(y^2 + x)

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