Determine se as integrais impróprias são convergentes ou divergentes. Se for convergente, calcule-a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral imprópria
converge ou diverge. Se ela converge, também vamos calcular o valor dela. Esse exercício está relacionado ao estudo de integrais impróprias, onde lidamos com integrais que têm limites de integração infinitos ou pontos onde a função não está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração dentro da integral. Temos
, que soma para:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a função
tem algum ponto onde não está definida no intervalo de
a
. A função estará indefinida quando o denominador for zero:
Esse é o ponto onde a função tem uma assíntota vertical. Como esse ponto está dentro do intervalo de integração, precisamos dividir a integral em duas partes para tratar essa descontinuidade.
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes:
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais.
Passo 5
Vamos integrar
:
Aplicando isso nas duas integrais:
Primeira parte:
Substituindo os limites:
Note que
tende a
e
tende a
quando
. Isso significa que a primeira parte da integral diverge para
.
Segunda parte:
Aqui,
tende a
e
a
, indicando que a segunda parte também diverge.
Resposta
A integral
é divergente.