Determine se as integrais impróprias são convergentes ou divergentes. Se for convergente, calcule-a
integral-infty^infty d x4 x+2 x+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral imprópria integral-infty^infty dx4x + 2x + 5 converge ou diverge. Se ela converge, também vamos calcular o valor dela. Esse exercício está relacionado ao estudo de integrais impróprias, onde lidamos com integrais que têm limites de integração infinitos ou pontos onde a função não está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração dentro da integral. Temos 4x + 2x + 5, que soma para:
4x + 2x + 5 = 6x + 5
Então, a integral fica:
integral-infty^infty dx6x + 5

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a função 16x + 5 tem algum ponto onde não está definida no intervalo de -infty a +infty. A função estará indefinida quando o denominador for zero:
6x + 5 = 0 implies x = -56
Esse é o ponto onde a função tem uma assíntota vertical. Como esse ponto está dentro do intervalo de integração, precisamos dividir a integral em duas partes para tratar essa descontinuidade.

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes:
integral-infty^infty dx6x + 5 = lima to -infty integrala^-56 dx6x + 5 + limb to +infty integral-56^b dx6x + 5
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais.

Passo 5

Vamos integrar 16x + 5:
integral dx6x + 5 = 16 ln |6x + 5| + C
Aplicando isso nas duas integrais:
Primeira parte:
lima to -infty [ 16 ln |6x + 5| ]a^-56
Substituindo os limites:
= 16 ln |6(-56) + 5| - 16 ln |6a + 5|
= 16 ln 0 - 16 ln |6a + 5|
Note que ln 0 tende a -infty e ln |6a + 5| tende a ln infty = +infty quando a to -infty. Isso significa que a primeira parte da integral diverge para -infty.
Segunda parte:
limb to +infty [ 16 ln |6x + 5| ]-56^b
= 16 ln |6b + 5| - 16 ln 0
= 16 ln infty - 16 ln 0
Aqui, ln infty tende a +infty e ln 0 a -infty, indicando que a segunda parte também diverge.

Resposta

A integral integral-infty^infty dx6x + 5 é divergente.

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